一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法

computer methods in applied mechanics and engineering，p.115041，2022.)显示，解和源项的函数形式都被假设为未知，其中源项的测量可以与解的测量分开获得。最近的文献(h.gao，m.j.zahr，and j.-x.wang，“physics-informed graph neural galerkin networks：a unified framework for solving pde-governed forward and inverse problems，”computer methods in applied mechanics and engineering，vol.390，p.114502，2022)提出了一种图神经网络来求解具有不可测源项的偏微分方程，其中源项被假设为常数。尽管上述研究工作取得了一些成功，源项的独立测量以及使用常数源项描述动态系统对实际工业过程是不可行的。其他进展表明pinn是从时空数据中识别偏微分方程的一个有前途的框架。近期研究工作(h.xu，h.chang，and d.zhang，“dl-pde：deep-learning based data-driven discovery of partial differential equations from discrete and noisy data，”arxiv preprint arxiv：1908.04463，2019.和z.chen，y.liu，and h.sun，“physics-informed learning of governing equations from scarce data，”nature communications，vol.12，no.1，p.6136，2021.)将通过神经网络的深度学习和通过稀疏回归的数据驱动的偏微分方程识别结合起来。文献(z.long，y.lu，and b.dong，“pde-net 2.0：learning pdes from data with a numeric-symbolic hybrid deep network，”journal of computational physics，vol.399，p.108925，2019.)是通过卷积对微分算子进行数值近似和用于模型恢复的符号多层神经网络的组合识别pde。尽管上述研究工作在pde的识别中已经取得了一些成功，但没有考虑由未知源驱动的偏微分方程的形式。文献(孙希明，王嫒娜，秦攀.用于求解未知外部驱动力作用下的有界振动杆位移分布的耦合物理信息神经网络[p].辽宁省：cn116050247a，2023-05-02)在具有时空依存特征的源项形式未知以及其独立测量值均无法获得的条件下，使用理想化偏微分方程，实现了具有时空依存特征动态工业过程的有效软测量，而理想化偏微分方程与实际工业过程仍存在差距。因此，针对具有完全未知的偏微分方程结构和源项的具有时空依存特征动态工业过程的有效软测量算法是一个尚未得到充分研究的问题。


技术实现要素：

[0005]
针对目前存在的问题，本技术提出了一种基于具有循环预测(rp)机制的耦合物理信息神经网络(cpinn)与赤池信息准则(aic)相结合的软测量技术(cpinnrp-aic)，用于获得满足描述具有时空依存特征动态工业过程的偏微分方程结构，进而获得解和源项，通过本发明提供的方法，可以获得适当的软测量结果，以确保系统优化、控制和预测，进而对保证高端工业装备，如航空发动机等装备的实际安全稳定运行具有重要意义。本发明将所提出的cpinnrp-aic用于具有完全未知pde结构的具有时空依存特征动态工业过程的软测量，并使用描述热扩散现象的热传导方程和航空发动机花键实验台采集的数据进行验证，利用评价指标均方根误差(rmse)和皮尔逊相关系数(cc)验证了所提方法的有效性。
[0006]
为了达到上述目的，本发明采用的技术方案为：
[0007]
一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法，是一种具有循环预测机制的耦合物理信息神经网络与赤池信息准则相结合的软测量方法，首先，构建用于训练具有循环预测机制的耦合物理信息神经网络的损失函数，获得满足用于描述时空工业过程偏微分方程的解和源项；其次，使用自动微分技术获得微分算子候选库；再次，使用赤
池信息准则从微分算子候选库中选择适当的偏微分方程结构准确描述时空工业过程；最后，利用热扩散现象和实际振动过程，验证了基于本发明提出的方法可获得可行的软测量结果。具体包括以下步骤：
[0008]
用于描述具有时空依存特征动态工业过程的偏微分方程具有如下一般形式：
[0009]ut
(x，t)+n[u(x，t)]＝g(x，t)，x∈ω，t∈[0，t]
ꢀꢀ
(1)
[0010]
x是空间变量，t是时间变量，t＝0时为初始状态，为方程解，即具有时空依存特征的工业过程的待测量变量，且该变量有时空依存性；是具有一般形式的源项，即为驱动源具有时空依存性，包括线性、非线性以及稳态或动态。ω为空间变量所属的开集空间，为其边界；n是一系列微分算子。
[0011]
具有时空依存特征的工业过程在未知精确pde结构时，可以用如下具有一般形式的偏微分方程描述，即所提出的cpinnrp-aic用于求解如下偏微分方程：
[0012][0013]
φ[
·
]是一系列偏微分算子的候选微分算子项，例如u
t
，u
x
，u
xx
，u
tx
，其假设足以充分包含所有利用自动微分获得的微分算子项，即为具有时空依存特征的动态工业过程随时间和空间变化的一系列状态。
[0014]
本发明即为学习从公式(2)中获得可以近似满足公式(1)的解u和源项g；公式(2)可写为如下残差函数的形式：
[0015]fn
(x，t)：＝φ[u(x，t)]
·
λ-g(x，t).
ꢀꢀ
(3)
[0016]
当外部驱动力g(x，t)完全已知时，fn(x，t)可直接通过稀疏回归方法获得。然而，未知的外部驱动力g(x，t)，即在未知外部驱动力作用下的动态工业过程，将导致稀疏回归方法获得fn(x，t)的方法不可行。
[0017]
因此，本发明提出了cpinnrp-aic以获得满足公式(1)中的偏微分方程的基于神经网络的解。所提出的cpinnrp-aic包含两个阶段：1)cpinnrp用于近似满足公式(1)偏微分方程的u和g；2)aic用于确定适当的偏微分方程微分算子组合满足公式(1)偏微分方程。cpinnrp由netu、netg和netu-rp组成，其中netu用于近似满足(1)的u；netg用于近似满足(1)的g，netu-rp用于补偿由针对t的离散化采样策略引起的信息缺陷。具体步骤如下：
[0018]
步骤1：构建用于训练cpinnrp的损失函数。
[0019]
使用全运行空间中可安装的硬件传感器提供训练数据集(x，t，u)∈d，其中可安装的硬件传感器包含运行空间内部ω可安装的传感器以及运行空间边界可安装的传感器。该数据集分为db∪di和db和di分别从ω的边界和初始条件以及内部随机采样获得，db表示从运行空间边界可安装的传感器和初始时刻采样的训练集，di表示从运行空间内部ω可安装的传感器采样的训练集；x，t，u分别表示空间变量、时间变量和具有时空依存性的待测量的变量；d表示训练数据集。根据可用的传感器的位置获取对应的配置点集合e＝eb∪ei，其中(x，t)∈e，e表示全空间配置点集合；eb表示对应训练数据集db的配置点集合；ei表示对应训练数据集di的配置点集合。采用如公式(4)所示的数据-物理混合损失函数训练cpinnrp-aic。
[0020]
mse＝mse
dn
+mse
pn
ꢀꢀ
(4)
[0021]
其中，mse
dn
和mse
pn
分别表示给定的公式(2)未确定精确pde结构的数据损失函数和物理信息损失函数，其中物理信息损失函数包含了未确定微分算子项组合的物理信息部分。
[0022]
所述的mse
dn
由下式得到：
[0023][0024]
其中，是网络netu的函数，它的参数集为θu，用于近似满足公式(1)的u，card(
·
)是集合.的势。
[0025]
所述的mse
pn
由下式得到：
[0026][0027]
进一步的，基于具有未确定的微分算子组合的得到如公式(7)所示：
[0028][0029]
其中，是网络netg的函数，它的参数集为θg，用于近似满足公式(1)的g；λ表示参数向量；表示公式(3)被(θu，λ)参数化后的残差函数形式。
[0030]
步骤2：利用阶层式训练策略在具有未确定精确pde结构下优化耦合cpinnrp-aic。
[0031]
考虑到公式(4)中的网络netu和网络netg的相互依存的关系，提出阶层式训练策略，通过参数迭代传输的方式训练cpinnrp-aic，其中和分别用于近似u和g。在此，用k表示迭代的步数。分层训练策略的目的是求解以下两个耦合优化问题的解。
[0032][0033]
和
[0034][0035]
其中，是包含未确定微分算子项组合的物理信息部分，其中是基于获得的；是基于获得的；
[0036]
为了弥补由于时间离散化采样导致的信息缺失问题，对cpinn的输出和硬件传感器的循环延时输出作为netu-rp输入的一部分，即netu-rp的输入共包含了三部分，x，t和或硬件传感器的循环延时输出。和
硬件传感器的输出是以非此即彼的方式选择的，即当该配置点(x，t)可安装硬件传感器时，采用其测量值的输出延时，作为该配置点的输入；当该配置点(x，t)无法获得硬件传感器的数据时，采用的延时作为该配置点的输入。因此，至此得到了未确定微分组合项和满足公式(1)的g。
[0037]
步骤3：利用aic选择满足公式(1)的适当微分算子组合。
[0038]
理想化模型，例如热传导方程、波动方程、麦克斯韦方程和ns方程，复杂工业过程会有很多的干扰因素存在。因此，理想情况与实际情况之间常常存在差距。为此，考虑采用aic对包含未确定微分组合项进行评估和选择。
[0039][0040]
其中，p是评估中包含的微分算子项的数量，n是数据集的大小，所选择的微分项组合实现了正确pde结构，即从所有候选项中选择具有最小aic值的组合作为最终用于近似公式(1)的pde模型。cpinnrp-aic的阶层式优化耦合策略与模型选择的细节如算法1所示。
[0041]
算法1：cpinnrp-aic的阶层式优化耦合策略与模型选择：
[0042]
(1)初始化：令k＝0，初始化网络netu和网络netg，并设置最大迭代步数k为m，作为循环停止条件；
[0043]
1.1)获得训练数据集(x，t，u)∈d和配置点(x，t)∈e；
[0044]
1.2)随机产生网络netu和网络netg的初始化参数集和
[0045]
1.3)当k＜m时执行以下循环：
[0046]
(a1)通过求解优化问题(8)获得此时mse
pn
中的来自前一步的迭代结果
[0047]
(b1)通过求解优化问题(9)获得称为
[0048]
(c1)k＝k+1；
[0049]
判断是否满足循环停止条件：是，则结束循环，返回否，则返回步骤(a1)，执行参数θu和θg迭代传输过程，求解优化问题(8)和(9)；
[0050]
(2)初始化：令k＝0，使用初始化网络netu-rp；
[0051]
2.1)除了x和t，cpinn的输出和测量值根据硬件传感器是否可用，以非此即彼的方式通过时间的循环延时输入到netu-rp；
[0052]
2.2)当k＜m时执行以下循环：
[0053]
(a2)使用公式(4)训练netu-rp；
[0054]
2.3)判断是否满足循环停止条件：是，则结束循环，返回利用自动微分获得的候选
微分项否，则返回步骤(a2).
[0055]
2.4)使用公式(10)从候选微分项组合中计算aic值；
[0056]
2.5)选择aic最小的微分项组合作为最终模型，用于近似公式(1)。
[0057]
步骤4：评价cpinnrp-aic方法在自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法性能，即为评价使用训练cpinnrp-aic获得的和近似(1)的u和g性能。
[0058]
利用均方根误差(rmse)和皮尔逊相关系数作为评价指标，评价cpinnrp-aic性能。
[0059][0060]
其中，rmse用于评价实际值和预测值的距离，|t|是关于测试配置点集(x，t)∈t的势，u(x，t)和分别表示实际测量值和相对应的基于神经网络的解。rmse的数值越小说明cpinnrp-aic性能越好。
[0061][0062]
其中，cc用于评价和预测值的之间的相似性。cc是u(x，t)和的相关系数，是u(x，t)和的协方差。var u(x，t)和分别是u(x，t)和的方差。cc数值越接近于1说明cpinnrp-aic性能越好。rmse与aic，均给出快照图以及全时间段的评价指标数值。
[0063]
不失一般性，未知精确pde结构和驱动源作用的具有时空依存特征的工业过程均可以用公式(2)描述，典型包括：(a)描述热扩散现象的热传导方程：有界杆内部的热量在热源驱动下进行热扩散，描述实际有界杆内部温度分布的有源热传导方程，如航空发动机内部在实际运行过程对于热源的产生量并无法测量以及具体的热扩散现象无法用理想化的热传导方程描述，而要获得任意点的温度分布情况，求解具有未知精确pde结构的热传导方程；(b)描述波动现象的波动方程：有界杆的振动位移分布，利用波动方程描述，如航空发动机的花键轴在运行过程中产生振动并受到多种驱动源影响，且涉及多种具有时空依存性的动态过程，使用理想化的波动方程无法精确该振动过程，而要获得所研究对象的任意点的振动位移分布情况，需求解未知精确pde结构的波动方程。
[0064]
本发明的有益效果为：
[0065]
本发明提出了一种新的pinn，称为cpinnrp-aic，用于近似满足用于描述实际具有时空依存特征动态工业过程的偏微分方程的解和源项。在本发明中，首先，采用cpinnrp来近似满足偏微分方程的解，并获得满足偏微分方程的源项。然后，我们提出了一种用于训练cpinnrp的数据物理混合损失函数，其中物理信息部分涉及微分算子的未确定组合。因此，aic用于确定微分算子的适当组合。所提出的cpinnrp-aic是一种数据驱动方法，用于实现适当的pde结构和满足pde的基于神经网络的解决方案。最后，利用热传导方程和航空花键振动实验台验证了cpinnrp-aic用于具有完全未知pde结构的时空依存特征动态工业过程
软测量的可行性和有效性。其结果用rmse和cc验证了cpinnrp-aic性能，其结果分别趋近于0和趋近于1，说明cpinnrp-aic在作为具有未知pde结构的时空依存特征动态系统的软测量方法，具有较好的性能。并且所提出的cpinnrp-aic适用于具有时空依存特征的的多类动态系统的软测量技术，即包括实际工业过程中热扩散现象以及实际振动过程中的波动现象等。本发明提出的cpinnrp-aic可实现高端复杂装备，如航空发动机运行过程关键变量值的有效获取，进而为高端工业装备的良好控制性能和安全运行的稳定性提供保障，具有实际工程应用意义和经济价值。
附图说明
[0066]
图1为描述热扩散的热传导方程典型模型项数的aic大小直方图。
[0067]
图2为t＝3快照图对应的预测值与实际值；
[0068]
图3为t＝7快照图对应的预测值与实际值；
[0069]
图4为来自传感器1采样的原始时域位移信号；
[0070]
图5为来自传感器2采样的原始时域位移信号；
[0071]
图6为来自传感器3采样的原始时域位移信号；
[0072]
图7为来自传感器4采样的原始时域位移信号。
[0073]
图8为描述实际振动过程的波动方程典型模型项数的aic大小直方图。
具体实施方式
[0074]
以下结合具体实施例对本发明做进一步说明。
[0075]
本发明提供一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法。该方法为利用具有循环预测机制的耦合物理信息神经网络结合赤池信息准则求解偏微分方程，该偏微分方程用于描述具有时空依存特征的动态工业过程，且其精确pde结构，包括微分算子组合与源项未知。所论述的具体实施例仅用于说明本发明的实施方式，而不限制本发明的范围。下面结合附图对本发明的实施方式进行详细说明，具体包括以下步骤：
[0076]
为从理论上说明cpinnrp-aic的有效性，因此实施例1首先使用一维热传导方程的数值仿真说明本发明的实施方式。
[0077]
实施例1：实际工业系统中的一端为绝热端，另一端为散热端的未知热源作用下的一维有界杆的热扩散现象，即测量结果为任意(x，t)的温度分布情况。因此，本实施例1即为利用cpinnrp-aic求解具有neumann边界条件的未知精确模型结构的一维热传导方程，获得软测量的结果。
[0078]
为获得训练集和测试集，给出以下形式的偏微分方程用于描述一端为绝热端，另一端为散热端的在热源驱动下的一维有界杆的热扩散现象。
[0079][0080]
热扩散率a＝1，u(x，t)为任意(x，t)位置处的温度，有界杆的长度l＝π，初始温度
热源温度分布的解析表达式为
[0081]
考虑到实际工业系统中的热扩散现象，精确偏微分方程结构以及热源均未知，且热源测量值也无法测得。将描述一维有界杆温度分布的未知精确模型以及源项的热传导方程转换为如式(3)的残差形式的pde方程。
[0082]fn
(x，t)：＝φ[u(x，t)]
·
λ-g(x，t).
ꢀꢀ
(14)
[0083]
为此，cpinnrp-aic包含两个阶段：1)cpinnrp用于近似满足(13)的u和g；2)aic用于确定适当的微分算子项u
t
，u
xx
。cpinnrp由netu、netg和netu-rp组成，其中netu用于近似满足(13)的u；netg用于近似满足(13)的u，netu-rp用于补偿由针对t的离散化采样策略引起的信息缺陷。
[0084]
1.构建损失函数：
[0085]
从由式(13)控制的系统中均匀随机采样获得训练集。本实施方式中，在[0，π]
×
[0，10]中随机均匀采样获得训练集，包括130个边界和初始训练数据(x，t，u)∈db，其中有10个初始条件训练数据，60个左边界条件训练数据和60个右边界条件训练数据，20个内部训练数据(x，t，u)∈di。20个配置点(x，t)∈e配置点集，利用配置点确保式(13)的结构。采用式(4)的损失函数训练cpinnrp-aic。mse
dn
和mse
pn
分别表示数据损失(5)和物理信息损失(6)。其中mse
sn
由(5)得到是网络netu的函数，它的训练参数集为θu。mse
pn
由式(6)得到，是网络netg的函数，它的训练参数集为θg。mse
pn
对应于(13)在有限配置点集(x，t)∈e上的物理信息损失，且涉及具有未确定组合的微分算子项，用来正则化网络netu中的u以满足(13)。
[0086]
2.利用阶层式训练策略在具有未确定精确pde结构下优化耦合cpinnrp-aic；
[0087]
考虑到损失函数mse中的网络netu和网络netg的相互依存关系，提出阶层式训练策略。在实际应用的很多情况下，例如用于描述航空发动机内部热扩散现象的热传导方程和热源g(x，t)的确切表达式甚至是稀疏测量都无法获得，然而可以利用cpinnrp-aic基于稀疏测量数据di获得和分别用于近似满足(13)的u和g。考虑到θu和θg相互依存的关系利用交互迭代的方式进行估计。假设k为现在的迭代的步数，分层训练策略的目的为求解(8)和(9)两个优化问题解。
[0088]
3.利用aic选择满足公式(13)的适当偏微分微分算子组合；
[0089]
描述热扩散现象的理想化热传导方程模型与实际情况之间常常存在差距。为此，考虑使用aic实施模型评估和选择，对于热扩散现象，我们考虑关于时间变量的一阶导数。候选库的构造如下：φ＝[u
t
，u
x
，u
xx
，u
xt
]。(10)中的aic随后用于从φ中评估和选择合适的组合。图1给出了描述热扩散现象典型热传导方程模型项数的aic大小的直方图。结果表明u
t
和u
xx
的组合是正确的描述该热扩散现象的热微分算子组合。cpinnrp-aic的阶层式优化耦合策略与模型选择的细节如算法1所示。
[0090]
算法1：cpinnrp-aic的阶层式优化耦合策略与模型选择
[0091]
(1)初始化：令k＝0，初始化网络netu和网络netg，并设置最大迭代步数k为m，作为循环停止条件；
[0092]
1.1)获得训练数据集(x，t，u)∈d和配置点(x，t)∈e；
[0093]
1.2)随机产生网络netu和网络netg的初始化参数集和
[0094]
1.3)当k＜m时执行以下循环：
[0095]
(a1)通过求解优化问题(8)获得此时mse
pn
中的来自前一步的迭代结果
[0096]
(b1)通过求解优化问题(9)获得称为
[0097]
(c1)k＝k+1；
[0098]
判断是否满足循环停止条件：是，则结束循环，返回否，则返回步骤(a1)，执行参数θu和θg迭代传输过程，求解优化问题(8)和(9)；
[0099]
(2)初始化：令k＝0，使用初始化网络netu-rp；
[0100]
2.1)除了x和t，cpinn的输出和测量值根据硬件传感器是否可用，以非此即彼的方式通过时间的循环延时输入到netu-rp；
[0101]
2.2)当k＜m时执行以下循环：
[0102]
(a2)使用公式(4)训练netu-rp；
[0103]
2.3)判断是否满足循环停止条件：是，则结束循环，返回利用自动微分获得的候选微分项否，则返回步骤(a2).
[0104]
2.4)使用公式(10)从候选微分项组合中计算aic值；
[0105]
2.5)选择aic最小的微分项组合作为最终模型，用于近似(13)。
[0106]
4.评价性能
[0107]
利用(11)rmse评价所提出的cpinnrp-aic方法在一维有界杆的一端为绝热端，另一端为散热端的热扩散系统中的软测量误差，即评价cpinnrp-aic方法在求解具有neumann边界条件的未知精确pde结构的一维热传导方程的性能，全时间段的fn(x，t)的rmse＝5.658725e-03，u(x，t)和分别表示实际温度值和相对应的软测量温度值。为了更进一步的验证cpinnrp-aic的性能，利用(12)cc进一步说明cpinnrp-aic方法的软测量温度和实际温度的相似性。
[0108]
本实施例中，cpinnrp-aic的相关设置为，隐藏层数为3，每层有30个神经元。预测的尺度情况如图2所示，具体在t＝3和7的快照图的预测与实际数值的对比情况分别如图3图4所示。在t＝3，7和全时间段的预测效果评价指标如表1所示。
[0109]
表1 cpinnrp-aic在一维有界杆的热扩散中基于未知精确热传导方程的软测量性能
[0110]
[0111]
通过表1可得，rmse接近0，cc接近1，表明本实施例的cpinnrp-aic在一维有界杆的热扩散系统中基于未知精确热传导方程具有较好的软测量性能。
[0112]
实施例2：实际工业系统中在未知驱动力作用下的一维有界杆的振动现象，即测量结果为任意(x，t)的振动位移分布情况。因此，本实施例2即为利用cpinnrp-aic求解未知精确模型结构的一维波动方程，进而获得软测量的结果。利用航空发动机渐开线花键联轴器微动磨损实验平台采集的实际数据来验证cpinnrp-aic软测量的可行性和有效性。训练和测试数据集是从安装在航空发动机渐开线花键联轴器微动磨损实验平台上的位移传感器1-4采样的，图4-7所示数据集的采样条件如下，其中图4为从传感器1测得的振动位移的时域数据，图5为从传感器2测得的振动位移的时域数据，图6为从传感器3测得的振动位移的时域数据，图7为从传感器4测得的振动位移的时域数据。
[0113]
1)电机驱动器工作转速为3000r/min。
[0114]
2)采样频率为2048hz，4096个采样点。
[0115]
考虑到实际工业系统中的振动过程，用于描述振动过程的精确偏微分方程结构未知，且驱动力也无法测得。为此，使用包含两个阶段的cpinnrp-aic实现软测量：1)cpinnrp用于近似满足偏微分方程的位移u和驱动力g；2)aic用于确定适当的偏微分方程结构。cpinnrp由netu、netg和netu-rp组成，其中netu用于近似满足偏微分方程的位移u；netg用于近似满足偏微分方程的驱动力g，netu-rp用于补偿由针对t的离散化采样策略引起的信息缺陷。
[0116]
1.构建损失函数。
[0117]
mse
dn
和mse
pn
分别数据损失(5)和物理信息损失(6)。是网络netu的函数，它的训练参数集为θu。mse
pn
由式(5)得到，是网络netg的函数，它的训练参数集为θg。mse
pn
对应于在有限配置点集(x，t)∈e上的物理信息损失，且涉及具有未确定组合的微分算子项，用来正则化网络netu中的u以满足描述振动过程的偏微分方程的位移。
[0118]
2.利用阶层式训练策略在具有未确定精确pde结构下优化耦合cpinnrp-aic
[0119]
考虑到损失函数mse中的网络netu和网络netg的相互依存关系，提出阶层式训练策略。实际描述航空发动机渐开线花键轴的振动现象的波动方程结构甚至是驱动力的稀疏测量都无法获得，然而可以利用cpinnrp-aic基于稀疏测量数据di获得和分别用于近似振动位移和驱动力。考虑到θu和θg相互依存的关系利用交互迭代的方式进行估计。假设k为现在的迭代的步数，分层训练策略的目的为求解(8)和(9)两个优化问题解。
[0120]
3.利用aic选择满足描述实际振动过程pde结构的适当微分算子组合；
[0121]
对于描述振动现象的理想化波动方程模型与实际情况之间常常存在差距。为此，考虑使用aic实施模型评估和选择，对于波动现象，我们考虑关于时间变量的二阶导数。候选库的构造如下：φ＝[u
tt
，u
x
，u
xx
，u
xt
]。(10)中的aic随后用于从φ中评估和选择合适的组合。图8给出了描述波动现象典型波动方程模型项数的aic大小的直方图。结果表明u
tt
和u
xx
的组合是正确的描述该波动现象的微分算子组合。cpinnrp-aic的阶层式优化耦合策略与模型选择的细节如算法1所示。
[0122]
算法1：cpinnrp-aic的阶层式优化耦合策略与模型选择：
02)
[0141]
采用以下理想化波动方程描述实际振动过程：
[0142][0143]
设置振动波速a＝1，长度l＝π，振动波传播时间t＝6，在(x，t)区域处驱动力为设置振动波速a＝1，长度l＝π，振动波传播时间t＝6，在(x，t)区域处驱动力为振动位移为将表示位移分布的波动方程转换为如式(3)的残差形式的pde方程
[0144][0145]
因此，本对比例即采用理想化波动方程(15)描述航空发动机花键轴的振动过程。则对比例不涉及使用公式(10)aic对未确定微分项的评估与选择过程，本对比例采用具有循环预测机制的耦合物理信息神经网络求解理想化波动方程(15)，获得的解即为所要获得的振动位移的软测量结果。表2显示了描述航空发动机渐开线花键振动位移分布的理想波动方程和利用cpinnrp-aic获得的模型的软测量性能对比，表2中的最佳值以粗体显示。
[0146]
表2理想波动方程和cpinnrp-aic获得的模型的软测量性能对比
[0147]
[0148][0149]
通过表2可得，rmse接近0，cc接近1，由于理想波动方程并不完全适合控制实际振动过程，因此对比例的的软测量结果不如本发明提出的cpinnrp-aic方法，原因是：本课题组早期工作是使用理想化的波动方程描述实际振动过程，而由于实际振动过程涉及不确定因素，进而导致采用理想化的波动方程无法完全精确地描述实际振动过程；本发明提出的cpinnrp-aic方法是采用从实际振动过程采样获得的振动位移数据，通过评估微分算子组合的赤池信息准则信息准则来获得可精确描述实际振动过程的波动方程模型。因此，本发明提出的cpinnrp-aic方法的软测量精度更高。
[0150]
以上所述实施例仅表达本发明的实施方式，但并不能因此而理解为对本发明专利的范围的限制，应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些均属于本发明的保护范围。

技术特征：
1.一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法，其特征在于，包括以下步骤：首先，构建用于训练具有循环预测机制耦合物理信息神经网络的损失函数，获得满足用于描述时空工业过程偏微分方程(pde)的结构，进而获得解和源项；其次，使用自动微分方法获得微分算子候选库；再次，使用赤池信息准则从微分算子候选库中选择适当的偏微分方程结构准确描述时空工业过程；最后，利用热扩散现象和实际振动过程，验证基于该方法获得的软测量结果。2.根据权利要求1所述的一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法，其特征在于，包括以下步骤：用于描述具有时空依存特征动态工业过程的偏微分方程具有如下一般形式：u
t
(x,t)+n[u(x,t)]＝g(x,t),x∈ω,t∈[0,t]
ꢀꢀꢀꢀ
(1)其中，x是空间变量，t是时间变量，t＝0时为初始状态，u:为方程解，即具有时空依存特征的动态工业过程的待测量变量，且该变量具有时空依存性；g:是具有一般形式的源项，即为驱动源具有时空依存性；ω为空间变量所属的开集空间，为其边界；n是一系列微分算子；具有时空依存特征的工业过程在未知精确pde结构时，所述的软测量方法cpinnrp-aic基于如下偏微分方程近似公式(1)：其中，φ[
·
]是具有一系列偏微分算子项的候选微分算子库，为具有时空依存特征的动态工业过程随时间和空间变化的一系列状态；所述的软测量方法为学习从公式(2)中获得可以近似满足公式(1)解u和源项g；公式(2)可写为如下残差函数的形式：f
n
(x,t):＝φ[u(x,t)]
·
λ-g(x,t).
ꢀꢀꢀꢀ
(3)所述的cpinnrp-aic包含两个阶段：1)cpinnrp用于近似满足公式(1)偏微分方程的u和g；2)aic用于确定适当的微分算子组合满足公式(1)偏微分方程；cpinnrp由netu、netg和netu-rp组成，其中netu用于近似满足(1)的u；netg用于近似满足(1)的g，netu-rp用于补偿由针对t的离散化采样策略引起的信息缺陷；具体步骤如下：步骤1：构建用于训练cpinnrp的损失函数；采用硬件传感器获得训练数据集(x,t,u)∈d，其中硬件传感器包含运行空间内部ω可安装的传感器以及运行空间边界可安装的传感器；该数据集分为d
b
∪d
i
和d
b
和d
i
分别从ω的边界和初始条件以及内部随机采样获得，d
b
表示从运行空间边界可安装的传感器和初始时刻采样的训练集，d
i
表示从运行空间内部ω可安装的传感器采样的训练集；x,t,u分别表示空间变量、时间变量和具有时空依存性的待测量的变量；d表示训练数据集；根据传感器的位置获取对应的配置点集合e＝e
b
∪e
i
，其中(x,t)∈e，e表示全空间配置点集合；e
b
表示对应训练数据集d
b
的配置点集合；e
i
表示对应训练数据集d
i
的配置点集合；采用如公式(4)所示的数据-物理混合损失函数训练cpinnrp-aic；mse＝mse
dn
+mse
pn
ꢀꢀꢀꢀ
(4)其中，mse
dn
和mse
pn
分别表示给定的公式(2)未确定精确pde结构的数据损失函数和物理
信息损失函数，其中物理信息损失函数包含未确定微分算子项组合的物理信息部分φ[u(x,t)]
·
λ；步骤2：利用阶层式训练策略在具有未确定精确pde结构下优化耦合cpinnrp-aic；考虑到公式(4)中的网络netu和网络netg的相互依存的关系，提出阶层式训练策略，通过参数迭代传输的方式训练cpinnrp-aic，其中获得的和分别用于近似u和g；在此，采用k表示迭代的步数；分层训练策略的目的是求解以下两个耦合优化问题的解；和其中，是包含未确定微分算子项组合的物理信息部分，其中是基于获得的；是基于获得的；为了弥补由于时间离散化采样导致的信息缺失问题，将cpinn的输出和硬件传感器的循环延时输出作为netu-rp输入的一部分，即netu-rp的输入共包含三部分：x,t和或硬件传感器的循环延时输出；和硬件传感器的输出是以非此即彼的方式选择的，即当该配置点(x,t)可安装硬件传感器时，采用其测量值的延时输出，作为该配置点的输入；当该配置点(x,t)无法获得硬件传感器的数据时，采用的延时作为该配置点的输入；至此得到未确定微分组合项和满足公式(1)的g；步骤3：利用aic选择满足公式(1)的适当微分算子组合；采用aic对包含未确定微分组合项进行评估和选择；其中，p是中包含的微分算子项的数量，n是数据集的大小，所选择的微分项组合实现了正确pde结构，即从所有候选项中选择具有最小aic值的组合作为最终用于近似公式(1)的pde模型；步骤4：评价cpinnrp-aic方法的自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法性能；利用均方根误差(rmse)和皮尔逊相关系数作为评价指标，评价cpinnrp-aic性能。3.根据权利要求2所述的一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法，其特征在于，所述的步骤1公式(4)中：
所述的mse
dn
由下式得到：其中，是网络netu的函数，它的参数集为θ
u
，用于近似满足公式(1)的u，card(
·
)是集合
·
的势；所述的mse
pn
由下式得到：进一步的，基于具有未确定的算子组合的得到如公式(7)所示：其中，是网络netg的函数，它的参数集为θ
g
，用于近似满足公式(1)的g；λ表示参数向量；表示公式(3)被(θ
u
,λ)参数化后的残差函数形式。4.根据权利要求2所述的一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法，其特征在于，所述的优化耦合cpinnrp-aic的分层训练策略的算法1所示：算法1：cpinnrp-aic的阶层式优化耦合策略与模型选择：(1)初始化：令k＝0，初始化网络netu和网络netg，并设置最大迭代步数k为m，作为循环停止条件；1.1)获得训练数据集(x,t,u)∈d和配置点(x,t)∈e；1.2)随机产生网络netu和网络netg的初始化参数集和1.3)当k<m时执行以下循环：(a1)通过求解优化问题(8)获得此时mse
pn
中包含的来自前一步的迭代结果(b1)通过求解优化问题(9)获得称为(c1)k＝k+1；判断是否满足循环停止条件：是，则结束循环，返回否，则返回步骤(a1)，执行参数θ
u
和θ
g
迭代传输过程，求解优化问题(8)和(9)；(2)初始化：令k＝0，使用初始化网络netu-rp；2.1)除了x和t，cpinn的输出和测量值根据硬件传感器是否可用，以非此即彼的方式通过时间的循环延时输入到netu-rp；2.2)当k<m时执行以下循环：(a2)使用公式(4)训练netu-rp；2.3)判断是否满足循环停止条件：是，则结束循环，返回利用自动微分获得的候选微分项否，则返回步骤(a2).
2.4)使用公式(10)从候选微分项组合中计算aic值；2.5)选择aic最小的微分项组合作为最终模型，用于近似公式(1)。

技术总结
一种用于自动确定偏微分方程结构的时空动态系统软测量方法，属于神经网络的软测量技术领域。首先，构建用于训练具有循环预测机制的耦合物理信息神经网络的损失函数，获得满足用于描述时空工业过程偏微分方程的解和源项；其次，利用自动微分方法获得微分算子候选库，从微分算子候选库中选择适当的偏微分方程结构准确描述时空工业过程；最后，利用热扩散现象和实际振动过程，验证软测量结果。本发明提出的CPINNRP-AIC适用于具有时空依存特征的多类动态系统的软测量方法，包括实际工业过程中热扩散现象以及实际振动过程中的波动现象等；可实现高端复杂装备，如航空发动机运行过程关键变量值的有效获取，为高端工业装备的良好控制性能和安全运行的稳定性提供保障，具有实际工程应用意义。工程应用意义。工程应用意义。


技术研发人员：孙希明 王嫒娜 秦攀
受保护的技术使用者：大连理工大学
技术研发日：2023.08.03
技术公布日：2023/10/20