超导能隙的发生机制和热力学统计的建模方法与流程

1.本发明涉及超导能隙的发生机制和热力学统计的建模方法。


背景技术：

2.超导的建模往往围绕着对相关现象的解释而展开。之前的模型[1]提出了五个现象进行解释，包括：1)二级相变，2)能隙的证据，3)迈斯纳效应，4)零电阻，5) 同位素效应。随着实验手段的发展，对现象的了解已经极大地丰富了。尤其是随着高温超导实验研究的发展，特别是arpes实验手段的发展，新的重要现象已得到确认，其中重要的有：
[0003]“峰-坑-脊”(pdh)现象；[2]-[7]
[0004]
bogoliubov准粒子激发(bogoliubov quasiparticle excitation,bqe)峰；[6][8]
[0005]“折弯”(kink)[5][9][10]；
[0006]
条纹相；[11]以及
[0007]
赝能隙。[12]
[0008]
本技术将提出一种建模方法，其能够对上述现象进行解释。
[0009]
作为本发明的核心基础的，是已有的晶格-电子作用模型[13]。按该模型，一个声子模(格波模)和被该格波模匹配的两个电子态s1和s2构成了一个子系(s1,s2)，如图1所示，s1和s2的能量e1和e2与波数k1和k2与格波(hν,q)匹配，并具有布洛赫波函数和这样的构成了晶体电子系统的一个基本子系，在弹性波近似下，格波作用微扰项
△
h可以被一般表示为：
[0010][0011]
其中求和是对晶格中所有的格点，rn是晶体的格点的坐标，e是振动方向的单位矢量，q和ν分别是格波的波矢和频率。由于
△
h是含时的，矩阵元包括对时间和空间的积分，其分别给出了矩阵元非零的能量匹配条件hν＝e2-e1和动量匹配条件q＝k2-k1。在图1的子系里，式(1)的
△
h在达到稳态时是作用矩阵达到极限值。虽然(1)式是在弹性波近似下确立的表达式，但电子态之间的匹配关系等并不依赖弹性波的特性。光学波振动的原子链上，不同类型原子的相位不一致。但同类型原子之间的色散关系依然是确定的，电子态受到同类型原子振动的调制，与弹性波的情况相同；而不同类型的原子振动产生的扰动，是线性叠加在一起的。
[0012][0013]
在此，电子态不再是定态，对角矩阵元被耗尽了变成了零。


技术实现要素：

[0014]
本发明提供了一种晶体的超导能隙的建模方法，其特征在于包括：
[0015]
把晶体的晶格电子系的相互作用矩阵的哈密顿量的微绕项表征为：
[0016][0017]
其中，求和是对晶格中所有的格点，rn是晶体的格点的坐标，e是振动方向的单位矢量，q和ν分别是格波模的波矢和频率，
[0018]
把对角矩阵元被耗尽的态确定为纯非定态，能隙包括纯非定态的态，
[0019]
把能隙的自由能表征为：
[0020][0021]
其中：
[0022]
θ代表k-e空间里沿着费米弧从节点向反节点的位移量，
[0023]
ζ(θ)代表沿着θ连续变化的结合能，其在节点处必为零，
[0024]
ω＝ω(θ)表示态密度，
[0025]
θ(θ)＝ζ(θ)
‑△
(θ)，
△
(θ)是待定参数，
[0026]
把整个晶格连同其电子系的自由能表征为：
[0027]
g＝x-u＝g(θ0,ω0,t)，
[0028]
通过求g的极小值，进行巡优，从而确定
△
(θ)、ω＝ω(θ)和ζ(θ)的值，
[0029]
其中x＝x(θ0,ω0,t)是使晶格具有
△
(θ)、ω＝ω(θ)和ζ(θ)的能量代价函数，
[0030]
其中，
[0031]
能隙中能量在-(ζ(θ)+
△
(θ))e《-(ζ(θ)
‑△
(θ))范围里的态被纯非定态的态所在的子系的配对激发所填充。
附图说明
[0032]
图1示意显示了一个一般的格波匹配的两电子态子系。
[0033]
图2a至2e和图2f示意显示了格波匹配的两电子态子系在定态和/或非定态下可能出现的情况。
[0034]
图3a至3c用于说明子系在相互耦合的情况下可能出现的情况。
[0035]
图4用于说明根据本发明的一个实施例的反节点能量关系。
[0036]
图5示意显示了铜氧化物的k-e空间中的能隙结构模型。
[0037]
图6示意显示了一个对比实施例的反节点区能隙结构模型。
[0038]
图7示意显示了一个对比实施例的反节点区能隙结构模型。
[0039]
图8示意显示了根据本发明的一个实施例的反节点区能隙结构模型。
具体实施方式
[0040]
下文的讨论中要反复涉及这种两电子态的子系。除非另外特别说明，我们都用s2和s1分别表示子系的上态和下态，用(s2,s1)表示该子系，并用{s2}和{s1}分别表示多个子系的上态的集合和下态的集合。另外，我们在讨论k-e空间中态的位置关系的时候，用“下方”表示结合能更大的位置，用“上方”表示结合能更小的位置，即“s2在s1上方”表示了s2处的结合能比s1处的结合能小。
[0041]
1.能隙的发生
[0042]
中那个时间积分的过程的处理，是本建模方法的起点，也是关键。正如后文所说明的，那个时间过程至关重要。(2)式的子系在(1)式的格波的调制下对角矩阵元被耗尽，是晶格电子系里必然发生的过程。我们先从它们的类似说起。
[0043]
1.1.能量匹配条件与能量守恒条件
[0044]
作为矩阵元非零条件的能量匹配条件和动量匹配条件只是对应的激发实际发生的必要条件，或者说它们只是虚跃迁发生的充分条件；因为矩阵元非零，所以就必然有虚跃迁，而且跃迁的概率还必须符合矩阵元的幅值。但实激发的发生除了能量匹配条件之外，还需要满足能量守恒条件。能量守恒条件与能量匹配条件是有区别的。如果子系只满足匹配条件但不满足能量守恒条件，则相应的过程就不会实际发生，而只能发生对应的虚过程。如后文所说明的，这个关系会反复出现在本模型中，并决定着本模型所描述的运动过程，它是本模型的能隙机制的核心要素。
[0045]
处于能量本征态的电子必然具有该态的能量。能量本征态是定态，其能量不确定范围是零。如果初始时，s1是被占据的定态，而s2是没有被占据的定态，然后格波 (hν,q)与其所匹配的电子态s1和s2的相互作用在一个时刻t＝0被启动，则按照矩阵元的内容，在充分的时间过后，对角矩阵元a
ii
被清零了，对角矩阵元的权重都转移给了非对角矩阵元a
ij
(i≠j)。
[0046]
众所周知，定态是不含时的哈密顿量h的本证态，是对角矩阵元a
ii
＝1的态。“非定态”是与定态相对的态，是定态的否定物。但这个否定物却具有两种情况，一个是角矩阵元a
ii
＝0，另一个是0《a
ii
《1，因此非定态这个否定物已经区分了它自己；为了在名称上进行区分，我们把a
ii
＝0的态成为“纯非定态”或pnss，以便与传统的那个包含0《a
ii
《1情况的“非定态”(nss)相区分。后者实际上是一种混合态，但“混合态”这个名称已经有众所周知的含义，所以我们继续用“非定态”表示 0《a
ii
《1的态。
[0047]
1.2.两电子子系中能隙的发生
[0048]
考虑图2e所示的系统，其相互作用矩阵是：
[0049]
{a
ij
}，其中(i,j＝1,2)
ꢀꢀꢀ
(3)。
[0050]
在对角矩阵元a
ii
不为零时，s2上的电子有概率a
22
停留在s2并有概率a
21
跃迁到s1， s1上的电子的情况也是对应的。在图2e的情况下，如果s1上的电子做向s2的虚跃迁，那么这个电子是不能停留在s2上的，因为它下一个动作有概率|a
22
|2是停留在s2并有概率|a
21
|2是跃迁到s1态；而如果它停留在s2，这个非定态的测量结果就是电子处于本征态s2，这和它原先的“做向s2的虚跃迁”的动作是不相容的。换言之，当a
22
不为零的时候，s1上的电子向s2的“虚跃迁”只能是这样的，即从s1向s2的虚跃迁与从s2向s1的虚跃迁必须处在该电子的同一个动作之中，它们是同一个动作的两个环节，在这两个环节之间不能有其他的动作，也不能有测量发生，但交换跃迁似乎可以除外(见下文)。
[0051]
但是，当a
22
为零的时候，上述的“两个虚跃迁必须在同一个动作中完成”的限制就被消除了，因为此时电子已经没有概率停留在s2上；如此，此时从从s1向s2的跃迁也不再是虚跃迁，即上述的“虚跃迁”的规定也随着a
22
值的归零而一起消失了。此时，“从s1向s2的跃迁”就有些象是一般的跃迁那样，只是，电子到达s2之后是否可以被测量到，要取决于子系能量的是否满足能量守恒条件。这样，就出现了一种新的虚跃迁，它只发生在终态的对角矩
阵元为零的情况下。同时，终态s2对应其对角矩阵元的为零或不为零，也区分出了两种态，对角矩阵元为零时的s2是pnss，对角矩阵元在0和1之间时的态是nss。至此，我们对pnss进行了进一步的规定。目前的讨论都是结合图2a-2e的两电子态子系来说的，下文中我们会把这些规定推广到晶格电子系的一般情况。
[0052]
另外，图2a那样的两电子子系中，使矩阵(3)保持成立的跃迁方式并不是上述虚跃迁，而是交换跃迁。这种交换跃迁有时或许也被称为虚跃迁。交换跃迁是全同粒子的交换操作，它除了满足矩阵(3)的成立条件之外没有外界后果，也不产生新的微观态。在满足矩阵(3)的成立的诸方式里，交换跃迁是最无害的满足矩阵元关系的运动方式，它甚至可以被插入到虚跃迁中。
[0053]
进一步考虑这样的情况，其中s1和s2都被电子占据，然后在匹配格波(hν,q)的作用下在足够的时间之后耗尽了对角矩阵元，则在此之后，按之前的讨论，电子并不需要具有能量e2就可以处于并停留在态s2上。尤其是，s2上的电子可以释放它的一部分能量，而依然处于并停留在态s2上，但是这样一来s2上的电子不能被“测量到”，即它消失了，从而出现了如图2b所示的结果。这种处于态s2上的电子由于不能满足能量守恒条件而不能被“测量到”的情况，是本模型一个核心关键所在。现有文献对这个问题，既讨论很少，又与本文的上述主张不一致。我们稍后进一步讨论这个问题。
[0054]
在下文中，如图2b、图2c等图所示，我们用一个符号
○
表示“进行了测量但没有测量到”的电子，并用符号
●
表示“进行了测量且测量到了”的电子。如此，图2a就是表示了通常的“正常态”下的电子的测量结果，其中在s1和s2各测量到了一个电子。但图2a显然又代表了图2b的子系的激发态之一，即离开的能量又回到了该子系；图2b的系统的另一个激发态是图2c。图2b的s2就是pnss。图2d那样的结果一般是不会出现的。
[0055]
由此我们看到，图2b所示的情况就是能隙的情况，因为s2上电子的消失，具有抑制能谱权重的效果。“能谱权重受到的抑制”就是能隙[12]。进一步地，图2b所示的情况是形成能隙的子系的基态，而图2a所示的原本定态下的基态，在s2处于pnss 时则成为了子系的激发态之一，该子系的另一激发态是图2c所示的情况。非定态下的子系具有两种激发态，使得与之有关的统计的性质发生了变化，即这个子系的激发态的微观态数变成了2，而不是定态下的1。s2处于pnss的子系的基态(图2b) 对应其上态s2上的电子“消失”的情况。
[0056]
1.3.把非定态的规定推广到一般的晶格电子系统
[0057]
以上讨论的在两电子子系中区分pnss与定态的规定，即：pnss的对角矩阵元为零，还需要推广到现实的多电子的晶格电子系。在晶格电子系里，相互作用矩阵 (3)扩展为：
[0058]
{a
ij
}，i,j＝1,2,3
……ꢀꢀꢀ
(4)，其中i和j各自的取值范围可以是晶格中所有的电子态。
[0059]
图3a示意显示了超导下晶格电子系统的电子态情况，e＝0等能面是化学势；虚线线段ab代表的是一个视在表面，其与e＝0等能面的间隔一般被称为“能隙”。在矩阵从(3)变成(4)之后，一个直接后果是“对角矩阵元a
ii
为零”的实现变得更复杂了。在矩阵(3)的情况下它是随着时间的推移必然要实现的，但在(4)的情况下它的实现变成有条件的了。难点之一是每个矩阵元的幅值都是跟格波的振幅即声子数相关的，而声子数是不断涨落变化的(除非温度t＝0)。再者，从图2a那样的单一“单边”子系到图3a那样的包含多个“单边”子系的“多边体系”(相当于图论中的“边”)，子系之间会发生耦合，这些耦合会产生新的态组合，
进而影响系统的统计律。我们首先讨论子系之间的耦合的影响。
[0060]
1.3.1.子系相互耦合的跃迁方式和对微观态数目的影响
[0061]
从上述讨论，两电子子系的激发态有两种：一是图2a那样的，二是图2c那样的，即该子系在激发态下的微观态数目是2。
[0062]
实际晶格的情况，相对于多个两电子子系相互耦合。如图3a所示，其中用双箭头的线表示了两个电子间的格波匹配，设态1和2是子系且假设态2处于pnss，3 和4是子系且态4处于pnss的激发态，且态5和6是子系。若态2与5之间存在匹配，则在态6是正常态或pnss的基态的情况下态2与5之间的跃迁必然是电子的交换，而交换是没有后果的；但在态6为pnss的激发态的情况下，电子从态2 跃迁到5就锁定了态5和6的子系的微观态而使其微观态数目减小到了1。若耦合的情况是态2与4之间发生了耦合，则跃迁既可以是两个态上的电子的没有后果的电子交换，也可以是如图3b所示的跃迁；按上述的讨论，从2跃迁到4的电子可以以
○
的方式停留在4，并可以在4与在3的电子进行交换跃迁，但在这个期间原本在1 的那个电子就可以跃迁到2了并以
○
的方式停留在2，如图3c所示。
[0063]
如此，就1和2态这个子系的局部看，原来其在基态上只能具有图2b所示的那一种微观态，现在却具有了两种态，一个是图3b所示的态，另一个是图3c所示的态。但是另一方面，3和4构成的子系的态现在只有如图3b所示的那一种态了，而在耦合之前的图3a的场合，它是可以有两种的(一是如图2a所示那样，另一是如图2c所示那样)。如此，耦合并没有改变两个子系的联合体的态的总数，都是3，所以子系的耦合没有改变总体的统计结果。
[0064]
从能量看，由于两个子系发生了耦合，它们彼此不再互为近独立子系，所以它们的能量不能再分别以态1和3为基准，而是要有一个共同的基准。如果以态3为基准，则图3c所示的态就是一般不被允许的，因为原本态1的
●
变成了态2的
○
，原来的一般不为零的态1电子能量e1变成了态2的
○
的能量零，能量守恒关系不再成立了。但如果以态1作为能量基点，由于该耦合期间3和4的子系的微观态变化被耦合锁定了，所以3和4的子系的能量是保持不变的，而态1的
●
变成了态2的
○
不引起能量变化，联合体的能量保持为不变。因此，在子系耦合的时候，参与耦合的子系要取一个共同的能量基点。这也是传统的近独立子系的原则。
[0065]
综合来看，s2处于pnss的子系与其他子系或电子态的耦合，不会引起微观态数目的变化，或者只是作为维持最可几分布的手段。所以，前文结合两电子的子系讨论的pnss的规定可以推广到多个子系耦合即实际的晶格电子系统。
[0066]
相互作用矩阵的每行元素是归一化的，即：
[0067][0068]
当要求其中的某些a
ii
＝0时，相当于施加了一组约束条件：
[0069][0070]
显然，总有至少一个i值(矩阵的某一行)会自动满足式(5)，即：对(5)式中的至少一个式子来说且a
ii
＝0是自动成立的而不是结果。问题是：如何让尽可能多的i值满足关系(6)，尤其是在声子数的涨落变化导致矩阵元a
ij
变化的情况下。而且，从前文关于a
ii
＝0在虚跃迁和非定态中所起的作用来看，a
ii
＝0是个严格的要求，不能包含冗余，实际上，非零的a
ii
本身就是它的行的冗余项。a
ii
＝0就是冗余项消失了。
[0071]
就各行自身来说，冗余项的消失会使(6)式难以实现。但各行并不是相互独立的，各行的(6)式关系通过矩阵的厄米性而相互关联，从而在各行之间构成一种传导，把其中一些行的不平衡传导给另一些行，也即：使那些由于对角元素被置零失去了其冗余项的行，能够调用其他行的冗余项。消失的冗余项又重新出现了。
[0072]
具体看一下矩阵元中有关时间的那些内容，如图1所示的子系的矩阵元的时间积分部分具有形式：
[0073][0074]
它对e
2-e
1-hν＝0给出a
12
～t-t0，带入(5)得到|a
11
|2～|a
11
(0)|2/(t-t0)2，其中a
11
(0)是t0时刻的a
11
值。在这个时间过程里，起始时刻t0的含义是比较重要的。设格波模的声子数在时刻t1》t0从0个声子变成了1个声子，这相当于在原有的微扰项(1)式上乘上了一个阶跃函数：
[0075][0076]
把s(t)乘到式(7)上，得到：
[0077][0078]
从而|a
12
|2具有如下形式：
[0079][0080]
其中|a
120
(t)|2是发生声子数变化之前的|a
12
(t)|2。可见当声子数突变时，|a
12
|2是随时间 t渐变的；t
→
t1时|a
12
|2→
|a
120
(t1)|2。且当t
→
∞时，|a
12
|2→
3|a
120
(t)|2。这个变化情况对一般化的|a
ij
|2也是一样的，即当格波模的声子数突变时，相关的矩阵元|a
12
|2是随时间t渐变的，并且会趋向于变化前的稳态|a
ij
|2值乘以一个固定的系数。
[0081]
在此，已经看到了启动时刻t1的一个含义，就是格波模声子数的变化会导致积分的时间参数的(部分)重启。在暂态过程里，对角矩阵元是以1/(t-t0)2的方式趋于零的，它不与任何格波相关所以它并不包括不随时间变化的那个系数的限制。因此，对角矩阵元构成了所在行的冗余项，即：只要某行的对角矩阵元不为零，则(5)式对该行就必然是得到满足的。而当对角矩阵元a
ii
＝0之后，如果(6)难以维持了，会发生什么。由于矩阵的厄米性和行的归一化是必须满足的，各矩阵元的表达形式即(7)式也是必须成立的，这样，剩下可以调整的，就是(7)式积分里的那个起始时刻t0或t1，也就是t0或t1要被归零。这个归零意味着该矩阵元所在的那个子系的格波耦合被重启。重启还意味着该子系抛弃了它原已建立起来的矩阵元|a
ij
|2(i≠j)，这个|a
ij
|2已经积累起来的权重被即时转移给同行的其他矩阵元。
[0082]
由于只有|a
ii
|2不受那个与匹配的格波有关的系数的约束，可以即时接收被重启的子系抛出的|a
ij
|2权重，所以在同行的矩阵元被重启a
ii
就被迫去吸收重启的矩阵元抛出的权重而使a
ii
＝0被破坏,除非重启的矩阵元抛出的权重被其他非对角矩阵元吸收；当a
ii
＝0被破坏时，其s2从pnss回到非定态。一般地说，每个s2都在格波的激励下进行着这个“定
态
→
pnss”的演变过程，但一部分s2会半途而废，而终结于被重启，以此方式，被重启的矩阵元的权重至少部分地回到了对角矩阵元，使得对角矩阵元暂时离开了零点，从而使(5)式继续保持成立，并为其他行的对角元素被置零提供冗余。
[0083]
由此可见，对角矩阵元a
ii
在(5)式中具有两重性的作用：1)当它为零的时候，它是归一化(即(5)式的成立)的负担；2)当它不为零的时候，它是归一化的资源。这个两重性的属性对矩阵的各行之间的关系也是同样成立的：当一行的对角矩阵元保持为零时，它是矩阵中的其他行的对角矩阵元保持为零的阻碍；而当一行的对角矩阵元不为零时，它是矩阵中的“相邻”行的对角矩阵元保持为零的资源；各s2之间的关系也是如此。
[0084]
此外，上述的冗余传递和不平衡性消解，既从能隙向着结合能加大的方向传递，也向着结合能减小的方向传递。这样，k-e空间里似乎大致分出了三层，在能隙底部往上到e＝0的态空间范围是第一层，pnss(主要)发生在这一层里。从第一层向下或向上一个最大声子能量的范围是第二层，这些层里的态与第一层里的pnss之间的矩阵元是需要持续维持的，重启只能是偶尔的，否则相关联的pnss就被破坏了。第二层之外一个最大声子能量范围的态空间范围是第三层，这些态的矩阵元可以都是可任意重启的，以便给pnss的建立和维持提供支持。但这个划分并不绝对，因为多声子过程也参与到矩阵元的运动中。现有的超导态下的arpes图谱，大体就是这样的情况。
[0085]
这种各行、各层之间的冗余传导与不平衡性消解的机制，有一点类似卷积神经网络的分层和传导过程。但作为一种无机的运动过程，晶体的能隙建立过程比生命的神经运动要简单得多，其所涉及的，只是晶体系统在自由能规律的支配下对自身某种物理属性的自我维护，这种维护导致了能隙相关的现象。但另一方面，这样的运动过程在无机界里已经是比较复杂的了，而且维护的机制和手段还不仅限于以上讨论的这些内容，而是还包括了超导的电磁特性等。
[0086]
2.非定态发生机制的拓展和可能限制
[0087]
2.1.非定态发生机制的拓展和可能的温度效应
[0088]
以上的讨论是结合一级含时微扰进行的，而且微扰项是(1)式那样的格波－电子作用项。首先，这个机制可以推广到其他玻色子－电子作用，只要该玻色子具有类似声子那样的q-e色散关系，比如自旋波[13]。其次，微扰可以不限于一级含时微扰，而是直接拓展到包含含时高级微扰。时变微扰的矩阵元最初就是被表达为迭代关系的[14]，其第n级被表示为例如：
[0089][0090]
求和形式的矩阵元表示，其适用条件是这个求和是否收敛。在有的文献 [14]中提出了h'的作用时间应该足够地短，以便对角矩阵元不被过分耗尽，并认为这个要求是与h'要足够小的要求等价的。我们认为，在ak的上述求和收敛的情况下，这个要求是没有必要的；h'要足够小是保证ak收敛的要求。因此，上述关于pnss 发生机制的讨论也就直接推广到了矩阵元包含高级微扰项的情况。尤其是，高级项实际上是表征多玻色子过程的项，而多声子过程在本模型中具有重要的作用，并且是解释某些重要实验现象所必须基于的过程，如后文将要说明的。另一方面，pnss 建立和维持的障碍就是ak的发散。按文献
[14](p88,p308)，有a
k(1)
～ai/2，其中可以估算出a
k(1)
～10-10
t
1/2
。所以ak收敛是有保障的。
[0091]
此外，h'较大时，即使不会导致ak发散，也会发生别的问题，即对角矩阵元难以被保持为零。声子能量小的模的声子数一般会多.因此，如果pnss集中发生在某个态空间区域里时(如上述的分层场景那样)，则在该区域中部的pnss的冗余传导，就主要通过能量大的声子的耦合来进行，这样，就会出现小声子的较大涨落引起的矩阵元模方的较大不平衡，需要由大声子的幅值本来就小的矩阵元进行冗余传导的情况，从而有可能导致(6)式的平衡关系不能维持，使得该态退出pnss。显然，这个问题，连同上述的ak收敛的问题，都是温度效应引起的。但它们是否超导相变的温度效应的起源是不确定的，这也不是本文所要讨论的话题。
[0092]
2.2.对pnss效应的简单讨论
[0093]
在现有文献中，似乎基本上没有基于含时微扰的能隙机制，几乎所有的能隙模型都基于不含时的哈密顿量。而本模型的哈密顿量的扰动项(1)是含时的，且本模型中能隙的发生，起于pnss上的电子从“测量”中消失了。。对角矩阵元不会由于我们描述它的方式的有限，就停止它的运动，而就我们目前所能看到的情况来说，它会被继续耗尽下去，它被置零是完全可以预期的。
[0094]
3.关于pnss上的电子的消失的一点讨论
[0095]
晶格中的一些电子态，在格波(或其他玻色模)的调制下，其对角矩阵元可以被置零，而进入pnss，且处于pnss上的电子会消失(不能被测量到)，这是本模型的基础。本文的全部内容都是基于这个基础。上文已经解释了对角矩阵元被置零的运动过程，也讨论了pnss上的电子消失的情况。我们本可以把对“电子消失”的理论合理性的支持建立在本模型与实验结果相符合的基础上(本文的随后部分将确实进行这样的尝试，将尝试定量解释pdh和bqe这样的实验现象)。但由于“能隙就是电子的消失”这个非常直接的关系，我们在此还是对“电子消失”的理论内容，进行一些附加的讨论。
[0096]“电子消失”源于跃迁相关的能量关系。文献中对这个问题的一个相关理解是 [14](p191)，“跃迁所到达的终态的能量散布是按以下方式与测不准关系相联系的。我们可将微扰h'视为一种测量手段，它把系统转移到诸k态中之一，用这种方法来测定系统的能量(系统的能量不一定是其初始能量，因为系统是分布的)。可用于进行测量的时间是t0，所以由(3.3)所预言的能量不确定量的数量级是......注意到如下事实是有意义的，由关系所表达，并由测不准原理给予适当修正的能量守恒，是这计算的一个自动的结论，而不必作为单独的假设被引进来。”[0097]
这个观点原本针对的是(7)式表示的积分里的暂态过程，并不涉及对角矩阵元被耗尽之后的过程。“是这计算的一个自动的结论，而不必作为单独的假设被引进来”这个观点，不仅是正确的，而且是必要的。这是理论的建立的一个重要要求，是理论符合逻辑的一个表现。
[0098]
但认为测不准原理适当修正了能量守恒，这样的理解则是成问题的。这个理解的的一个推论是在能量不确定范围内能量守恒关系可以松动。这个理解不符合既有理论。能量匹配条件和能量守恒原理，都与体系的对称性有关。如现有文献指出的[13] (p116)中指
出：“一般来说，声子的准动量并不代表真实的动量，只是它的作用类似于动量。......动量守恒是空间均匀性(或者称为完全的平移不变性)的结果，而上述准动量守恒关系实际上是晶格周期性(或者称为晶体的平移不变性)的反映。......由于晶格平移对称性与完全的平移对称性相比，对称性降低了，因而变换规则与动量守恒相比，条件变弱了，可以相差项”。在本文所涉及的晶格场景下，态(如s2等) 都是布洛赫函数表征的，其空间对称性就是上述的晶体的平移不变性，但其能量对称性却是完全的时间平移不变性，所以，声子过程的能量匹配条件和能量守恒定律的要求应该是完全的，比动量匹配条件更加严格的。而且，如(7)式的计算中导出的能量匹配条件也不含有与动量匹配条件中的项对应的项。
[0099]
4.pnss子系的两种激发态
[0100]
图2c显示的pnss子系的激发态，其中两个电子处于同一个态(如s2)。因此，有可能导致与泡利不相容原理有关的问题。我们在此不进行相关理论上的论证(那样的论证也会显得比较薄弱)。我们只是会在下文中提出，这个情况是本模型的一个关键，它是说明能隙相关的相变的基础。但在此值得一提的是，图2a与图2c这两种激发态发生的概率比值，却具有关键的意义；我们将会证明，两种激发态的比例，是模型的运动本身确定的，而不是作为假定而引入的1：1，在这个基础上，可以对如pdh等重要实验现象，做出合理的解释。这进一步表明了，图2c的激发态的出现不仅必要，而且还具有深入的意义。
[0101]
5.能隙相关的熵统计的初步讨论
[0102]
5.1.(k,e)空间中与能隙有关的三层结构，对kink(折弯)现象的说明
[0103]
首先，上述的(k,e)空间里态大致分三层的讨论，就已经说明了“折弯”出现的原因。“折弯”是高温超导的arpes实验结果中非常重要的一个现象。按上文的能隙模型说明，折弯处于三层中的第二层，其中的态与上一层中的pnss有单声子过程中介的矩阵元，这些矩阵元的重启是需要被避免的，否则所关联的pnss就可能被破坏。折弯里越靠近e＝0的态，其与pnss连接的矩阵元就越多，不可重启的矩阵元也就相应地就越多，反之亦然。所以，折弯越靠近e＝0的部分，其中的态的玻色中介的耦合就越牢固，谱线斜率就越小。而折弯以下的谱，属于上述的第三层，其中的态与pnss之间没有单声子中介的矩阵元，因此去矩阵元基本上都是可以随时重启的，因此其中的态的玻色中介的耦合就比折弯部分中的态弱，谱的斜率就比折弯大。关于折弯，下文还有进一步讨论，实际上，就耦合作用导致谱线斜率减小来说，这个效应在(0,π)区更加显著，而且那里的情况更突出地印证了上述的pnss 上电子消失的理解，而且那里的折弯其实并不处于三层中的第二层。
[0104]
5.2.pnss相关的统计
[0105]
按照统计理论[13]，正常态下，能量为ε的电子在ω个电子态上的最可几分布数λ即费米统计可以写成[13]：
[0106][0107]
其中β＝1/(kt)，ef对应化学势。现在不考虑能量ε的电子，而是考虑pnss子系(s1,s2)中处于激发态的子系的最可几数，ω个pnss子系(s1,s2)的量子态数是：
[0108][0109]
其中，λ是被激发的pnss子系(s2,s1)数，2
λ
项表示λ个被激发的子系每个都可以有
图2a和2b所示的两种可能状态。需要注意的是这里的能量ε不再是以e＝0为基准的能量，而是s2和s1的能量差。显然这个场景下，相关的能量u和最可几激发子系数λ分别是：
[0110]
u＝λε
ꢀꢀꢀ
(11')和
[0111][0112]
(12)式中的系数2似乎可以并入εf，但其实并非如此，实际上(12)式的子系激发跟(10)式的单电子激发统计是不一样的，虽然它们有联系。(12)还不是一个适当的统计，因为其中假定了两种激发态的发生是等几率的；这个假设并不成立，下文中会进行修正。另外，如文献[13](p278)中提到的，k空间中的电子统计，有时候还需要考虑能量分布以外的内容，本模型就属于这样的情况。具体是，晶格电子系的每个s2会有多个(如η个)与它单声子匹配的s1，因而最可几电子激发数就是：
[0113][0114]
这是(11)式中的2
λ
项换成η
λ
所得到的结果。假如这λ个激发后的子系中的{s1}上的空穴和/或{s2}上的电子被继续激发，第一次激发中{s2}和{s1}之间的对应关系就被打乱了(可产生更大的态数目)，当这个过程重复进行时，{s2}和{s1}之间的关联就被消除了，从而变成了(10)式的形式。(13)式的推导中，依然采用了两种激发态等几率发生是的假定，也需要修正。我们将会证明，两种激发态的比例，是运动本身确定的，而不是作为假定而引入。
[0115]
6.关于pdh现象的模型推演和对能隙的进一步理解
[0116]
6.1.对pdh现象的初步分析
[0117]“peak-dip-hump”(峰-坑-脊，pdh)现象[2]-[7]是与高温超导相关的实验现象，尤其是arpes实验现象。从一般的理解看，谱上的“坑”可能是由于电子激发留下的空穴形成的，也可能是能带的态分布变化形成的；在本模型里，pnss子系的{s2} 也会形成空穴。但如果pdh的坑是空穴形成的，则峰就出现在坑的上方，成了非常奇特的现象。文献[3]和[6]给出了(π,0)附近的arpes谱，显示了pdh现象的结构细节(文献[3]还进一步详细讨论了不同arpes手段(光子能量)的观测效应对结果的影响)。如文献[3]所描述的。把这样的现象的产生原因解释为激发的困难在于，在极低的温度(t～30k或更低)下，峰下方的谱被严重耗尽，表明电子似乎是在大量激发。虽然文献[3]的实验是在t～30k进行的，但正如诸文献[3][5][6]的pdh数据一致表明的，pdh现象特征是随着温度的降低而愈加鲜明的，所以应该是在t＝0时依然维持的现象。
[0118]
因此pdh就不应该是热激发引起的，而是与自由能的能量项u有关的过程。图 4示意表示pdh特征相关的一种能量关系；其中，考虑空穴的统计，对于两个能级|e1|》|e2|，能级e1处的{s1}上的空穴的能量大于e2处的{s2}上的空穴的能量。一个电子从s1激发到了s2，也就相当于一个空穴从s2激发到了s1；但是，如果这(s2,s1)是pnss子系，则按照本模型，这些子系的激发有图2a和图2c两种情况，相当于：激发到{s1}的每个空穴都有一定概率被消灭。一个空穴在激发之后被消灭所释放的能量是|e1|＝ε1，空穴从{s2}激发到{s1}(电子从{s1}激发到了{s2})需要能量ε
1-ε2，只要一个空穴从{s2}激发到{s1}之后被消灭了，则该激发的净能量代价就是负 (ε
1-ε2)-ε1＝-ε2《0，而不是通常的正值ε
1-ε2。也即，上述空穴激发是能量上有利的过程，因而，只要空穴被消灭的概率足够大(如大于等于1/2)，则多个电子从
{s1} 激发到{s2}也就是能量有利的，即使在t＝0时也是如此。
[0119]
在此，我们又看到了之前讨论的那两个问题“图2c所示的pnss子系的激发态是否会出现”和“处于pnss上的电子是否会消失”的意义，因为唯有“处于pnss 上的电子会消失”，才会出现上述的能量有利的情况。
[0120]
6.2.pdh相关的粒子分布模型
[0121]
接下来的问题，就是pnss子系的{s1}上的空穴的消灭概率究竟有多大。现在推演相关的数量关系。把{s2}和{s1}之间的耦合激发视为分两步进行：
[0122]
第一步：λ个pnss子系被激发，排列数为：
[0123][0124]
其中η是匹配的玻色模的平均数。能量代价为：
[0125]
u1＝λ(ε
1-ε2)
ꢀꢀꢀ
(20')；
[0126]
第二步：激发的λ个子系的{s1}上的λ个空穴中有λ个被消灭，剩余的λ-λ个空穴进行排列，排列数：
[0127][0128]
其中η-λ
表示λ个空穴被消灭导致相应的匹配态数目减小，能量为：
[0129]
e2＝-λε1ꢀꢀꢀ
(22)；
[0130]
总能量代价为：
[0131]
e＝e1+e2＝λ(ε
1-ε2)-λε1ꢀꢀꢀ
(23)，且有：
[0132]
这里考虑的是总共ω个pnss子系里有多少会处于激发态。从λ的最可几条件：
ꢀ‑
lnη+ln(λ-λ)-lnλ＝-βε1，解出：
[0133][0134]
再把λ代入前式λ的最可几条件：得：ln(ω-λ)+lnη-ln(λ-λ)＝β(ε
1-ε2)，解出λ的最可几数：
[0135][0136]
其中ε1和ε2分别是s1和s2的能量(其符号约定按图4所示)，η是s1和s2之间匹配的格波的数目。但这个λ即ω个子系(s1,s2)中处于激发态的子系数目，还没有缺少对电子数的考虑，需要进行进一步的修正。
[0137]
6.3.电子交换与赝粒子源
[0138]
从上述的推导，我们已经看出，λ个空穴中有λ个被消灭的情况，是由于pnss 子系具有两种激发态，且两种激发态的比例具有重要作用；空穴是电子的激发产生的，空穴的消灭则是由于原来处于pnss的{s2}态上的电子回到了{s1}，也就是原来消失的电子回来了。
[0139]
我们在第3和4节讨论了“pnss上的电子会消失”以及基于它的“pnss子系有两种激发态”的合理性，现在这两个话题再次成为了我们的分析的核心关键。既然存在粒子交换，就需要采用gibbs巨正则系综[15]去建立与(24)式对应的统计。
[0140]
我们可以把k-e空间里与能带相交的“切面”视为一个“切面子系”(ssc)；这种切面
如文献[3]-[7]中在提供arpes数据时频繁采用的那些切面，或者是图5的示意显示的k-e空间中在某个k值处与0-k垂直的面。
[0141]
这样一个ssc与晶格电子系的其余部分交换电子，是正常的现象，并不需要以 pnss为前提。按既有的理解，从一个ssc离开的电子应立刻回到了晶格电子系中，因为唯有这样，才能保持晶体的电中性。但本模型的场景中的特殊，在于电子是通过“电子消失”离开该ssc的；通过pnss消失了的电子的去向，按电中性的要求，这些“消失”的电子也必须即时回到晶格电子系。而按现有理论[15](p84)，化学性质相同的物体达到平衡时它们的化学势应该相等，按此，消失电子的回归应该使超导电子系里所有ssc的化学势相等。但铜氧化物超导态下的arpes数据中的能隙现象显然不是这样的情况，其中，节点处的化学势是0；而反节点区有能隙，所以如果能隙区域里有电子态的话，那里的化学势就是一个与能隙幅度相应的非零值，即化学性质相同的物体达到平衡时它们的化学势不相等了。这里还有一个进一步的问题，就是能隙区域里是否有电子态，这取决于具体的模型。本模型里能隙区是“电子消失”pnss子系构成的。因此，需要建立相应的、与电子通过pnss消失和返回的机制相关的新统计模型。
[0142]
既然本模型里ssc与晶格电子系之间直接的电子交换导致了不相等的化学势，那么就该考虑该电子交换是否是通过中介进行的，换言之，就是是否存在另外一个粒子源，消失的电子进入这个粒子源(第二粒子源)，再从该第二粒子源回到晶格电子系的化学势e＝0处(节点)以平衡晶格系的电中性。按前文的讨论，电子通过pnss 消失，是消失到了pnss的世界里，在那里能量是不确定的，电子是在某个负值能量-|ε|处消失了，然后又离开第二粒子源而出现在了晶格电子系的化学势e＝0处；既然回归必须是即时的，电子就不在第二粒子源中停留，而只是通过它，这样它就不是一般意义上的粒子源，同时，上述α参数由于其可以不相等，它也就不是一般意义上的化学势。类比众所周知的“赝能隙”的命名，我们把该把第二粒子源叫做“赝粒子源”。
[0143]
基于这样的思路，我们进一步把一个切面子系里的能隙区中的所有{s2}的子系 (s1,s2)作为一个子系(第二切面子系，sssc)，考虑其中的电子分布。如此，一个 sssc同晶格电子系的其余部分通过赝粒子源交换电子，该其余部分相对于该sssc 就构成了一个近似无穷大的粒子源(第一粒子源).我们尝试利用gibbs巨正则系综 [18]进行处理。
[0144]
6.4.用gibbs巨正则系综确定能隙的电子分布
[0145]
当所有pnss子系(s1,s2)都处于基态时，能隙区里没有电子。ssc中的每一个激发的电子都与两个能量相关：其所在的s2的能量ε2和激发能量ε
1-ε2＝ε
l
，所以它的能量关系也就可以用ε2与ε1表征。把被激发的子系(s1,s2)的数目表示为λ
l
＝λ
l
(s2)， l＝0,1,2
……
l即扫过ε2所在的范围，λ
l
个电子激发后留下的λ
l
个空穴中有λ
l
个被消灭。λ
l
和λ
l
虽然都是电子的计数，但它们的粒子数和能量都是分开计算的，所以我们把λ
l
和λ
l
关联的电子视为两种粒子，则该ssc的粒子数和能量分别为：
[0146]
和
[0147][0148]
按照文献[15](p281)，有：
[0149][0150]
其中，e
ξ
＝ξ是巨配分函数，且：
[0151][0152]
(27)式的第一个求和号的下标(λ
l
,λ
l
)表示对所有的λ
l
和λ
l
和分布求和，w
l
即 (20)与(21)式的w1和w2的积：
[0153][0154]
(27)中与λ
l
有关的因子是得到：
[0155]
由于ε1是分布的，所有的s1上的电子都可以向s2激发，所以ω
l
还应该分配给ε1即ω＝ω(ε1,ε2)。考虑到本问题的性质，可以写成ω
l
＝ω(ε2)/
△
e，其中ω(ε2)是该切面中ε2处的态数目。由此，ω
l
个s2在ε2的子系(s1,s2)中的激发数λ
l
以及消灭空穴数λ
l
的最可几值为：
[0156][0157][0158]
上两式中的脚标l已可省去。与(24)式相比，(30)式中导入了α1和α2。注意到图 4所示的ε2的符号关系e
→‑
ε2。由于电子是在e＝0处回到晶格电子系的，所以α2＝0。故有：
[0159][0160][0161]
6.5.能隙的构造：能隙的被填充的下部分
[0162]
(30)式表征了铜氧化物超导态的能隙区的参数数值关系。其中的α1显然不是通常的化学势，因为它在系统达到平衡时对各ssc不相等。
[0163]
其中θ代表k-e空间里沿着费米弧从节点向反节点的位移量
[0164]
对比(30')和(10)式，可看出α1与(10)式中的ef的对应关系是-efβ
→
α1。但(30)式的模型与(10)式所描述的模型是不同的。这两个模型的关系可以这样理解：最初的激发都是子系激发，但最初的激发之后发生的后续激发，会打乱原来的子系，消除了子系激发里s2与s1的对应关系，从而转变为(10)式所描述的模型。模型的不同，使得本模型的结合能不同于(10)式的ef，尤其是后者并不随k值改变。α1对应的结合能ζ则是随k值变化的，即：
[0165]
ζ＝ζ(θ)＝α1(θ)/β。
[0166]
对α1＝α1(θ)这样的分布的形成机制(在图6-图8中，α1和ζ都是正值)，我们将在后文给出解释；在此需要说明的是，α1之所以与通常的化学势不同，是由于得到(30)式的
gibbs巨正则系综统计中，ssc与粒子源的电子交换，是通过赝粒子源进行的。文献[15](p84)的模型中，各子系与粒子源直接交换粒子，其“α1与所讨论的物体所处的状态无关，只与作为物质供给者(的粒子源)的状态有关。故相同化学性质的物体达到平衡时，它们的α1应当相等。”这里的“物体”相当于ssc。“相同化学性质”这个条件，在本模型中被破坏了。赝粒子源包括两个通道：电子进入它的第一通道，和电子从它返回晶格电子系的第二通道。第一通道是差异化的，它为各ssc的电子设置了不同的结合能。第二通道则是对各ssc相同的，使来自个 ssc的电子都在α2＝e＝0处返回了晶格电子系。
[0167]
电子进入赝粒子源的时候损失了结合能，结合能取决于位置θ，即：电子在哪个位置θ的ssc里，它就是具有该ssc的结合能-ζ(θ)的电子。(如铜氧化物的)超导态的能隙区就是具有不同的、连续改变的结合能-ktα1(θ)值的一系列ssc；按照一种简单的理解(后文将说明这样的理解并不正确)，在t＝0时，视在能隙底部θ(θ)以上的s2全部是空的，θ(θ)以下的s2则全部由于pnss子系(s1,s2)的激发而被占据了。θ(θ)并非实际的能隙区的底部，反节点区的能隙其实是被θ(θ)分成了两部分，θ(θ) 以下的部分被通过pnss机制激发的电子填充了，这个被填充的部分，就形成了如文献[3]所描述的“sharp and dispersionless feature”和“weakly dispersing,sharp feature”，它完全就是能隙的下部分，由于它就是能隙本身的一部分，因此它的态全部是与{s1} 持续耦合的pnss的{s2}，所以它的耦合力度最大，以至于这部分能带完全躺平了，或者接近完全躺平了；相比之下，节点的kink区里的态都不是pnss，所以它们的色散没有反节点的这些feature弱。反节点区的该特征(feature)在向着节点区过渡的过程里，能隙部分逐步减少直至消失，它的色散也就从反节点处的完全躺平的该特征过渡的到了节点区的不那么近乎无色散的kink。
[0168]
空穴被消灭从而导致了(25)和(26)式中与λ
l
有关的粒子数和能量关系，表明赝粒子源还包括了第三个通道，该通道使得粒子源里e＝0处的电子到达s1并释放出能量ε1。该电子不是从e＝0的电子态向下跃迁到s1的，因为任何满足e》ε1的其他能量处的电子态上的电子都可以向下跃迁到s1并释放对应的能量，s1处空穴的消灭是通过该第三通道转移电子的结果。实际上，通过第一通道消灭电子的那个过程，应该理解为虚过程，因为就目前已经进行的分析看，那种过程并没有单纯地发生过，而总是作为其他过程里的环节而出现，而环节有时是作为虚过程而存在的。或者说，由于它是作为环节出现的，所以它究竟是不是虚过程，反而不重要了。第三通道的上述过程，也是作为环节出现的(至少迄今看是如此)，所以它是否是虚过程并不重要，尽管它有着释放了能量ε1的实际后果。
[0169]
在图5中，示意显示了能隙被θ(θ)分割且被填充的情况。其中，示意表示了{s1} 的分布范围。但实际上，不仅{s1}分布的下限与θ(θ)没有关系，而且{s1}实际上没有分布下限，或者说，{s1}的范围直达费米海的最底部，即第一个能带的底部；这是因为，首先按(30)式，ε
l
很大的时候它实际上已经与λ
l
无关；其次，矩阵元里的多声子过程的贡献是可以穿越禁带的。
[0170]
6.6.能隙的形成过程与相干峰的形成机制
[0171]
但θ(θ)与结合能的关系，还是未确定的。一种可能是，θ(θ)就是结合能，后文将说明实际上不是这样；但尽管如此，出于说明的目的(尤其为了说明参数关系的复杂和迷惑性)，我们还是先给出基于这种关系的一个能隙构造场景(后文里我们将结合图8说明修正的场景)，即图6示意显示的能隙的形成过程，可以把它们理解为 t＝0的等温过程里反节点
处的切面里能隙演进的各个阶段，其中用带稀疏白点的黑色块表示被电子填充的区域。图6的阶段(a)表示开始时的正常态，还没有能隙。然后由于pnss子系(s1,s2)的运动，{s2}上的电子通过赝粒子源进入粒子源，能隙开始出现，但能隙并没有停留在结合能θ的位置，而是继续向下发展到了某个θ1》θ处 (图6的阶段(b))。再之后，由于上述的pnss子系(s1,s2)的激发，θ-θ1部分的能隙被填充了，但θ以上的那些{s2}由于(30)式规定的能量关系而无法被填充(图 6的阶段(c))，系统的能量比图6的阶段(a)时减少了θ2ω/2(ω是态密度)，就是0-θ那部分空间的净结合能。
[0172]
系统先把能隙发展到θ1》θ再把能隙填充到θ，这个过程并没有使系统的能量获得任何减小。既然如此，系统进行这样的过程，是因为系统在0-θ部分建立起能隙，就这个切面来说，是把正常态在0-θ部分里的电子，全部赶走了；这些电子必须回到晶格电子系里以维持系统的电中性。节点处没有能隙，所以那里的化学势就是α1＝0；在维持节点的化学势不变的情况下，如果要容纳被能隙的形成赶走的这些电子，就只能加大θ＝θ(θ)下方的态密度。这就是所谓“相干峰”的形成机制。但现有理论没有包含我们模型的基于pnss子系(s1,s2)的激发的能隙机制，我们的模型把能隙建立为pnss子系(s1,s2)中的“电子消失”，这比“能谱权重受到抑制”的以往理解，多了一些内容，我们也据此如上所述地把反节点区完全躺平或接近完全躺平的尖锐且无色散的(“sharp and dispersionless feature”)确认为能隙本身的一部分，以及它之所以躺平，正是因为能隙通过把它建立为自身的一部分，而使它所包含的态{s2}与其他态(不仅是{s1}，也包括在{s2}上方的态)的耦合力度得到最大的提升；而躺平的能带可以具有更大的能态密度，从而可以接纳那些被赶走的、原来在0-θ区间里的电子。
[0173]
这个“通过把一部分能带建立为能隙的一部分从而加大其态密度的机制”，在整个能隙区0-θ1都是存在的，不仅限于0-θ部分。类似地，“kink”的非能隙的能带部分也是同样的功能和形成机制。能隙形成之后，“kink”的非能隙的能带部分的态与能隙中的{s2}的耦合力度也得到了提升，从而形成了该部分的“kink”并加大了该部分的态密度。显然，这个过程里0-θ区间里态密度也应该是被加大了，这倒不是为了容纳被赶走的电子，而是为了使系统能量的那个减小值θ2ω/2变得更大。总之， 0-θ1部分能带的这个躺平运动，就是为了把尽可能多的态从e＝0的上方拉到其下方。由此可见，铜氧化物超导体的arpes能谱里，反节点处的相干峰基本上都是能隙里的态，而节点处的相干峰都不是能隙里的态；在节点与反节点之间的区域里，是这两者相互过渡的混合情况。这就是图6的阶段(d)所示意显示的场景，其中在θ-θ1区域的态密度的加大用这部分的黑色块的扩大来表示，0-θ区间里态密度的加大则用附加的虚线方框表示。
[0174]
另外，θ1以下的能带部分在这个过程里并没有任何改变，说明这部分并不影响上述能带建立和态密度改变过程，所以这部分能带可以发生任意的变化，以适应 0-θ1部分的躺平，图6的阶段(d)中用若干相互连通的随意的黑色块代表θ1以下的能带部分，以表示这部分能带的变化的任意性；该部分对应了pdh中的“坑”，它一般要么是电子激发的空穴形成的，要么是态密度被减小形成的。我们的模型表明它是后一情况，即由于θ1上方的能带部分的躺平，把原本在θ1下方的一些态拉到θ1之上去了，同时由于“坑”不在躺平的部分里，所以“坑”所在位置的态密度是减小了的。这样，坑的大小并不直接影响e＝0下方的态数目，因而对自由能没有贡献。但一些现有文献的实验数据表明坑随着温度的下降加大，这应
该被理解为其上方能带部分的躺平的牵制影响，即躺平同时产生了两个后果，一是把e＝0上方的态拉到其下方，二是把θ1下方的态拉到θ1之上，而这两种效果会同时发生。
[0175]
这样的能带变化，首先是为了保持e＝0下方的电子数不变，因此它是一个归一化的过程，所以它也就是真正意义上的“再归一化”(regeneration)。但这个过程也还有其他效应，原来图6的阶段(a)中在0-θ区间里的电子，在图6的阶段(d) 中全部转移到了θ以下，则这些电子要激发到e＝0上方就需要比之前更大的能量，所以这些电子的能量降低了；同时图6的阶段(a)中在θ1下方的电子，在图6的阶段(d)中转移到了θ1上方，这部分电子的能量上升了。
[0176]
就一个切面本身来说，图6的阶段(d)中θ1以下的态数目，应该等于图6的阶段(a)中e＝0下方的态数目，但实际上并不需要如此，因为所容纳的更多的态是所有切面共同贡献的。反节点具有最大的能隙空间，而节点没有能隙空间，其“kink”对应的态数目加大可以分担反节点的能隙态数目，诸如此类。
[0177]
以上说明了t＝0时的能隙过程，也就此说明了根据模型的能隙机制是能够延续到t＝0的机制。在t》0时，自由能的-ts项开始出现，一般地说，能隙不会在系统刚离开t＝0时就被破坏，如普遍理解的。
[0178]
6.7.比例λ/λ的意义，降维有利相变发生
[0179]
(23')式给出了(31)与(30)相除得到的是：
[0180][0181]
与(23')式是一样的(α2＝0)。低温下该比例随着ε1快速趋于1，且t＝0时λ＝λ。这个特性具有重要的意义。作为对比，图7的阶段(a)至(d)给出了设定λ/λ＝1/2 时的场景。其中θ,2θ,4θ这几个参数的关系是限定的。在进行到图7的阶段(c) 时，在2θ与4θ之间形成了1/4空间的一个区域(斜线表示)，其中空穴的比例为 50％，对应了3θ2ω/2的正值的能量，比0-θ能隙区域里的-θ2ω/2要多，因此这个过程就是不会发生的，除非0-θ区域的能隙加大到至少原来三倍以上的体积。这是很难实现的。
[0182]
此外，(30)式的建立也要求λ/λ快速趋于1，即{s1}上的空穴比例迅速趋于零。否则，{s1}上不同sssc之间的冲突会变得显著，导致(30)式准确性下降甚至不能成立。因此，在α1和ε2很小的情况下，(30)式很难成立。(实际上，似乎也没有很小的能隙。)
[0183]
差值λ-λ是没有被消灭的空穴数，这些空穴各具有结合能ε1，所以λ-λ的值越小越有利相变，即λ/λ值越接近1越好，即η值越小越好。而η值大致与系统维度成正比。所以从λ-λ这个因素说，降维有利于相变的发生。降维产生条纹相。[11]
[0184]
7.pnss子系的配对激发、冷激发
[0185]
7.1.bqe的形成机制和幅值确定
[0186]
以上我们建立了能隙模型并得到了(30)式的数值关系。我们还要基于该模型再推导两个关系。虽然结合能的ζ(θ)的幅值或视在能隙的幅值θ(θ)依然是假定值，但第8节里我们也会在一个简单模型的场景下把它们建立为导出量。我们先推导bqe 的幅值。
[0187]
超导铜氧化物超导体arpes能谱上[6][8]，bogoliubov quasiparticle excitation (bqe)的峰出现在e＝0的上方。用εb表示bqe峰的出现位置。(30)式解释了，超导铜氧化物超导体的能隙结构是由于pnss子系的激发形成的。如果bqe也是由于同样的机制形成的，那么从(30)式就应该能够推导出与文献[6][8]的数据符合的结果。一个关键问
题是，在e＝0的上方是否存在pnss子系的s2。按现有的主流观点，生产(赝)能隙并不难，难的是能隙达到相干，对应于arpes能谱出现相干峰。前文基于本模型的分析结果是，形成pnss并不难，但pnss的态s2在e＝0下方形成连续的能隙空间则是相对不易的，这与上述现有观点是符合的。但迄今的分析，只确定了在e＝0下方有pnss子系的s2，并没有确定pnss子系的s2也出现在e＝0 的上方。虽然pnss子系的形成相对不难，但它毕竟也是耗费资源的，按之前的分析，只有出现在e＝0的下方的连续能隙区才对促成相变的自由能差有贡献，那么能隙就不应该出现在e＝0的上方。
[0188]
这样，剩下的一种可能的情况就是，bqe激发电子所在的那些s2的pnss子系，是与该激发同时建立的，即(30)式里的ω
l
＝1。但另一方面，(30)式的关系里，每一个s2所匹配的，并不止η个s1，因为对于子系激发来说，每一个s2对应的ε1都有一个分布范围，即每一个s2属于多个pnss子系(s1,s2)，其中s1从θ1向下延伸分布，一直达到费米海的最底部，即第一个能带的底部，而这多个pnss子系(s1,s2)中的每一个都有可能产生向s2的激发，因为上述这个能量范围里的s1的激发贡献都是被包括在(30)式的统计里的。所以，εb处的pnss激发数是(30)式的积分：
[0189][0190]
其中，τ表示沿着能量坐标的态密度，而不是在某个能量值处的态密度ω＝ω(e)。(32) 的积分结果的主项是其与(10)的激发数的比值是：
[0191]
λb/λ＝emτ/ωb＝m/(2π)
ꢀꢀꢀ
(33).
[0192]
记emτ～mnk，m是满带的数目加1，而对于价带大致有ω＝ωb～2πnk。与文献[6][8] 的数据对比，可以看到，εb处的能谱权重是普通热激发与pnss子系的激发两种成分叠加而成的，pnss子系的激发的成分(峰)比表现为背景的普通激发成分的幅度要略小，但在同一数量级。可见，基于本模型的分析结果，与既有文献的实验数据基本一致。也表明了原来在pnss子系的激发之前在εb是没有pnss的s2的。但该结果还不完整，因为εb一般具有一定的值(bqe峰出现在e＝0的上方一定高度处)，上述分析没有对此进行解释。但我们至少说明了，就bqe出现的εb来说，本模型得出的峰值幅度，与实验数据是符合的，所以也是提供了对bqe的部分解释。
[0193]
7.2.对能隙模型的修正，子系的配对激发及其统计特性
[0194]
我们原以为，上述对bqe的计算，只是一个附带的说明，而在其之前对本模型进行的那些说明，已经是完整的了。但(33)式的结果及其推导，令我们意外，就是即使在最小的态密度ω
l
＝1，基于pnss的激发依然有跟热激发相同量级的权重。这对我们理解能隙的结构，形成了明确的实质性限制，并推翻了我们之前对结合能幅值的理解。所以我们需要对之前的模型内容进行相应的修改，尤其是结合能的幅度、相关的激发过程、以及能隙结构。首先，结合能的平衡点不能象我们原来以为的那样位于视在能隙的底部，那样的话，将会导致即使在温度很低时，能隙的至少很大一部分也被热激发所填满，而这不符合已有实验数据的情况。图6的阶段(a) 那样结合能，θ上方的子系(s1,s2)本身是无法实现pnss激发的。这也是我们之前以为结合能ζ处于视在能隙底部的原因。但是，我们之前没有考虑多个子系综合激发 (尤其是配对激发)的过程。现在既然单子系的跃迁并不符合实验数据，那么就需要
考虑多个子系的联合激发。
[0195]
图8的阶段(a)至(d)显示了调整之后的能隙形成过程和能隙结构。参见图 8的阶段(b)，设结合能为ζ＝(θ+θ1)/2；能隙向下延伸到θ1；θ
1-θ＝2
△
，θ＝ζ
‑△
且θ1＝ζ+
△
。(s1,s2)的s1上的空穴消灭，释放出能量ε1，抵消掉跃迁所需的能量(ε
1-ε2)，剩余：
[0196]
ε
1-(ε
1-ε2)＝ε2ꢀꢀꢀ
(34).
[0197]
注意，子系激发中的“空穴消灭”总是会提供这个剩余能量ε2，而ε2是否能抵消结合能ζ，决定了单子系激发是否能够实现。所以，当s2处于ζ时，剩余能量刚好抵消结合能ζ，(s1,s2)可以激发。但如s2处于ζ上方的ε2＝ζ-δ，则空穴消灭释放的能量也是ζ-δ，无法抵消结合能ζ，(s1,s2)便无法激发。但s2处于ζ下方的能级ε2＝ζ+δ时，(s1,s2)实现激发之后还有剩余能量δ。所以，如果ε2分别为ε2＝ζ
±
δ上的两个子系(s1,s2)进行“配对激发”，则它们就都可以实现激发。这样，s2在θ到θ1范围里的(s1,s2)就都能通过配对而被激发了。
[0198]
对于子系的配对激发(paired excitation of subsystems,peos)，激发和空穴消灭的最可几数要重新建立。配对的激发子系数λ
l
'＝λ1'
l
+λ2'
l
，λ1'
l
和λ2'
l
分别是λ
l
'个配对中的ε2＝ζ
±
δ的子系数目，λ'
l
＝λ'
1l
+λ'
2l
是对应空穴消灭数。但不能直接去求“配对的最可几激发数”λ
l
'的统计，那样得到的：
[0199][0200]
不是我们期待的统计结果。
[0201]
这里可采用两个巨正则系综。第一个是-(ζ+
△
)《e《-ζ范围里的s2的子系的系综，第二个是-ζ《e《-(ζ
‑△
)范围里的s2的子系的系综。它们各自与粒子源交换粒子，且它们彼此之间存在能量耦合及粒子数的关联{λ2'
l
}＝{λ1'
l
}和{λ'
2l
}＝{λ'
1l
}，即它们不是独立的。由于{λ2'
l
}＝{λ1'
l
}造成了它们的能量交换关系所以对第一个系综有：
[0202][0203]
可见λ1'
l
已与ε2无关，能量e'1也已与{λ1'
l
}无关，而只与总数λ1'和ε1有关。
[0204][0205]
对第一个系综，有：
[0206][0207][0208][0209]
ω1是该切面里-(ζ+
△
)《e《-ζ范围中的全部态{s2}数目。α2＝0，得到：
[0210]
[0211][0212]
由于现在λ1'和λ'1均与ε2无关只与ε1有关，α1需由归一化条件确定：
[0213][0214]
ζ两边的态数目ω1和ω2一般不相等，所以两边的最可几分布一般不相等。但若ζ下方的s2的子系都已被激发了，则ζ上方的激发数分布{λ2'
l
}无法达到最可几数分布，但这是有利的，因为ζ上方的s2空穴的净结合能为负。(39)形式上与单个子系的(30) 式相似，但λ1'和λ'1已与ε2无关，只与ε1和ζ有关，态密度ω1也不再是某个能量ε2处的态密度ω
l
。热激发的熵的统计变成了(38)式的关于ω1、λ1'和λ'1的统计w1'。由于第二个系综的分布{λ2'
l
}＝{λ1'
l
}和{λ'
2l
}＝{λ'
1l
}是由第一个系综限定的，所以它的w1' 不是(38)式那样的，而是(28)式那样的：
[0215][0216]
即第二巨正则系综的熵贡献和它进行单子系激发时的熵贡献一样，但w2'的上限比 w1'的上限要小很多。即，两个子系的配对激发的熵的上限比它们各自做单子系激发时的上限要大。但自由能的比对要综合熵的比对和能量的比对。λ1'≥ω1/2后，更多的激发使得w1'减小。所以peos因为采取求和的ω1，而使得熵的上限更大了，使得自身可以具有更大的熵，从而使它自身具有更好的抵御热激发的鲁棒性。
[0217]
7.3.能隙中热激发的领域和能量阈值
△
[0218]
如要激发ζ
‑△
上方的s2的(s1,s2)，两个子系的“配对激发”也无法实现，但三个(或更多)子系的“编组激发”却可以，其中两个子系的s2要处于ζ下方以向ζ
‑△
上方的那一个s2的子系的激发提供附加能量。如此，ζ至ζ+
△
范围里的s2就成为了资源，用于支持ζ上方的s2的子系的激发；这样，问题就变成了：1)该资源是否足够支持激发ζ
‑△
上方的s2的(s1,s2)，和2)提供这样的资源是否符合系统运动的目的。系统运动的目的，是达到尽可能低的自由能。提供资源支持ζ上方的s2的子系的激发，就已经不符合这个目的了，提供资源支持ζ
‑△
上方的s2的子系的激发就更不符合这样的目的。因此，ζ下方的态密度尽可能低，从而使ζ上方保留尽可能多的空穴，就是对降低自由能有利的。但这个目的，与前文提到的“renormalization”的目标，是有冲突的。结果大体应该是，ζ上方的态密度和ζ下方的态密度差不多，已有实验数据所显示的情况，与这个推测是定性符合的。图8的阶段(d)显示了ζ下方的态密度略小于ζ上方的态密度的情况，用一个小的虚线空白方框代表θ《ε2《ζ范围里的s2，这些s2是不被占据的。该分布下，不会有资源支持ζ
‑△
上方的s2的子系的激发。
[0219]
因此，在ζ上方，单个子系的激发无法发生，所以不会发生bqe激发那样的过程(bqe场景里没有结合能的因素)；在ζ上方至ζ
‑△
的范围里，会发生子系的述“配对激发”；进一步地，在ζ
‑△
上方，“配对激发”也不能发生了，只能发生三个(或更多)子系的“编组激发”，但在ζ至ζ+
△
范围里的态密度有限时，在ζ
‑△
上方也不会发生“编组激发”，即不会发生任何的子系激发。这些就是结合能ζ限制各种类型的激发的发生的情况。之前的说明，都要做与此相应的修正。
[0220]
△
与结合能ζ都是能隙常数。ζ
‑△
＝θ的上方不会单个或多个子系的激发，所以它是热激发的领域。在达到图8的阶段(d)出现的能隙部分填充之后，e≤-θ范围中的电子再通过热激发而进入e》-θ；在该热激发中，对于-θ《ε2《0，声子的能量hν加到(s1,s2)的空穴消灭提供的剩余能量ε2上，只有这两者之和大于等于结合能即hν+ε2≥ζ或：
[0221]
hν≥ζ-ε2ꢀꢀꢀ
(41)
[0222]
时，热激发才会发生；因s2在ζ
‑△
上方，故有ε2≤ζ
‑△
，代入(35)得到：
[0223]
hν≥ζ-ε2≥ζ-(ζ
‑△
)＝
△ꢀꢀꢀ
(42)。
[0224]
即：到能隙中的态ε2的热激发有个能量阈值
△
，该阈值
△
是能隙的被填充部分的半宽。能量阈值
△
的存在，使得激发能不再连续，出现了奇点。但发生奇点处的态分布是连续的。出现奇点并是由于态分布有奇点或哈密顿量有奇点，而是因为“子系配对激发”基本上排斥了ζ上方至ζ
‑△
的范围里的热激发，使得热激发的能量范围只能从下限
△
开始。
[0225]
子系配对激发是能隙的要素，能隙也由此区分了自身，它不再只是“能谱权重受到的抑制”，而是进入了一种更高级、更完备的形态，其中它包含了由子系的配对激发填充的下部和连续分布的未被占据的s2构成的上部。
[0226]
7.4.冷激发
[0227]
至此，我们只在两处涉及到了热激发，一是上段的到能隙中的s2的热激发，一个是前文讨论的bqe。热激发是熵的过程，只能发生在t≠0，所以只有纯粹基于能量关系的运动才能延续到t＝0。如(30)和(39)式表示的激发，和图8示意表示的激发过程和结果，都是可以延续到t＝0的运动，所以它们必然不是热激发。但(30) 和(39)式的激发，也已经包含了热激发的种子，就是那个核e
±
βε
，它随着温度t≠0 而成长，把纯粹基于能量关系的激发的成分逐步排斥出去。在量的关系上，激发中的热激发的比例就是它随着温度的上升快速趋向1，在 t＝klnη/ε1时达到1/2的份额。而另外1/2依然不是热激发的激发，这样，激发就区分了自身。我们把热激发以外的激发称为“冷激发”，它是纯粹基于能量关系的激发，与熵的因素无关。在本模型中，冷激发也是基于能隙的激发，只有通过能隙，系统才建立了与熵无关的激发的能量关系，才能出现冷激发。
[0228]
基于pnss机制的子系激发本身是冷激发，但其中包含了e
±
βε
形式的热激发因素，所以在t≠0时，一方面，子系激发的驱动因素中就融入了与熵有关的成分，使得子系激发也可以到达e＝0的上方，这就是bqe；另一方面，这些熵有关的成分挤占纯粹基于能量关系的成分，使得能隙的结构逐渐瓦解、破坏，直到热激发取代了冷激发的主导地位。因此，那个高级形态的能隙的出现或瓦解，即能隙相变，也就是冷激发与热激发的主导地位的相互转换的标志。
[0229]
7.5.“配对”的意义
[0230]
在我们的模型里，有不同的“配对”关系。pnss子系(s1,s2)就是一种配对，它导致了能隙的产生。能隙填充过程里的“子系的配对激发”是另一种配对，它实现了能隙的下部的填充。
[0231]
通过子系的配对激发，系统实现了这样的过程，即能隙先向下进展到低于结合能ζ的下限ζ+
△
，再通过冷激发回填到ζ
‑△
，这个过程是使能带躺平所需的过程，而使能带躺平以形成相干峰，则是加大这部分能量范围的态密度以容纳从等能面 e＝0上方拉到其下方的态从而形成自由能里的负能量成分，这是能隙相变的内容，也就是前文说明过的
regeneration过程。由于该填充的上限ζ
‑△
位于结合能ζ上方，所以它只能通过子系的配对冷激发实现。所以，没有子系配对激发，就没有 regeneration，也就没有能隙，而没有能隙也就没有冷激发，也就没有子系配对激发。目的地返回到了起点，起点也返回到了它的目的地。
[0232]
正是这个子系的配对冷激发机制，造就了能量阈值
△
和偏离最可几分布这两个针对热激发的屏障，也造成了激发能量不连续这个奇异能量特征。能隙的真正底部在结合能ζ的平衡点的下方-(ζ+
△
)，而能隙的未填充部分的底部又在结合能的平衡点的上方-(ζ
‑△
)。
△
是热激发的能量阈值，也是能隙的被填充部分的半宽。阈值
△
对-(ζ+
△
)《e《-(ζ
‑△
)范围里的所有电子态都是同样的，因而它是向e＝-(ζ
‑△
) 上方的ε2的热激发的能量下限。这样，在如(10)式表示的热激发里，能量项ε-ef不再是从零开始，而是从
△
开始，这使得热激发电子数被相应降低了。由于填充能隙下部的激发是子系的配对激发，所以从能隙内部的态向能隙的未填充部分的热激发就需要破坏子系的配对。如(38)和(38')式所表明的，子系配对激发时系统的熵要大于但子系激发时的熵，所以拆散配对不是有利的系统运动方向，不易发生。
[0233]
能隙参数不是单纯的，有两个相关的参数ζ和
△
。能隙宽度不是其结合能ζ，能隙的总宽度是ζ+
△
，其未被填充部分的宽度是ζ
‑△
，这两者的差值2
△
是能隙的被填充的下部的宽度。ζ和
△
的数值是由系统自身的运动确定的(见下节)。配对和能隙的机制都与零电阻机制无直接关系；超导载流子的要素，在这里还看不到，或许它根本也不在能隙发生的过程里。子系的热激发可以如(30)式的关系那样到达 e＝-(ζ
‑△
)上方，普通的热激发也可以突破配对子系的屏障到达e＝-(ζ
‑△
)或 e＝0上方；屏障只是使激发不易发生，而不是完全阻止其发生。由此可见，配对的关系、能隙参数ζ和
△
、能隙内的激发能量阈值等，都是综合的关系。
[0234]
8.作为导入量的能隙参数，附加的讨论
[0235]
8.1.把能隙参数建立为晶体运动导入的量
[0236]
文献[14]所推崇的“(能量守恒)是这计算的一个自动的结论，而不必作为单独的假设被引进来”(an automatic consequence of the calculation and does not have to beinserted as a separate assumption)”，是建模所应准求的目标，第3节引述的文献[13] 的关于动量守恒与体系对称性的关系的讨论，进一步说明了这个目标的重要性。
[0237]
因此，如果我们只把能隙的幅度θ作为一个假定值，而不把它建立为如文献[14] 所推崇的“一个自动的结论”(an automatic consequence)，我们的建模就是有严重缺憾的。θ和ω等参数，应该是运动自身建立起来的，而不应作为单独的假设被引进来。另一方面，在前文的分析基础上，用一个简单的模型把能隙参数θ和ω作为模型运动的导出量，也不是太困难。在6.5节的讨论中，我们已经提出：由于电子的消失和回归，通过了赝粒子源，赝粒子源对进入它的电子施加了一个结合能，该结合能取决于位置θ，即：电子在哪个θ的ssc里，它就是具有该ζ(θ)＝-ktα1(θ)的结合能的电子。在此基础上，如果我们能把θ(θ)＝ζ(θ)
‑△
(θ)和ω＝ω(θ)建立为系统运动的寻优所确立的参数，那么我们就不仅把能隙参数θ和ω建立为了系统运动所规定的(而不是我们“单独的假设”的)内容，而且我们还进一步地把“电子通过了赝粒子源消失和回归，电子在进入赝粒子源的时候失去了结合能，结合能取决于位置θ”这个过程，也一并确定为系统运动本身所规定的环节。
[0238]
显然，对态密度ω＝ω(θ)，对铜氧化物超导体，能隙的体积可简单表示为其中用积分限0和1表示从节点到反节点的积分范围。t＝0时，这个体积的能量是：
[0239][0240]
这是个非常简单的模型。我们进一步例如设ω＝ω(θ)＝ω0+bθ和θ(θ)＝θ0θ，则(43) 式就给出了相应的自由能差：
[0241]
△
f＝-u(θ,ω,t)
ꢀꢀꢀ
(44).
[0242]
这是系统通过形成能隙而获得的自由能上的减小。但如上所述，形成能隙需要重整能带，相当于对能带进行拉伸-挤压，从而获得如图8的阶段(d)所示的那种能带扭曲的结果，这是一个使能带偏离其自由状态的操作，会使晶格的势能上升，就像挤压一个弹簧类似。这个势能上升对应于一个代价函数：
[0243]
x＝x(θ,ω,t)
ꢀꢀꢀ
(45).
[0244]
则整个晶格连同其电子系的自由能就是：
[0245]
g＝x-u＝g(θ,ω,t)
ꢀꢀꢀ
(46).
[0246]
相当于弹簧的变形位移。能带的拉伸-挤压幅度是有限的，所以θ0和ω0达到一定的值后x值会迅速上升，g值必达到极小值，这时的θ和ω值就是实际的能隙参数。而能隙常数
△
与结合能ζ也就从θ＝ζ
‑△
确定了。由此，α1值或结合能ζ的分布变化α1＝α1(θ)＝βζ(θ)，也就是晶格及其电子系的自由能g寻优过程的结果。这样，我们就结合上述的简化模型说明了，ζ(θ)、θ(θ)、ω(θ)都是晶格及其电子系的运动的结果，而不是“作为单独的假设被引进”的参数。这个论证或者其框架，或许是已有的，只是出于模型完备性的考虑，我们需要在此把它确认一下。
[0247]
8.2.附加讨论
[0248]
我们就此完成对本模型的说明。本模型所涉及的内容包含了从最初的扰动
△
h直到能隙的建立的过程。但能隙还只是超导现象的一部分，迈斯纳效应和持续电流等，是能隙建立之后的过程。但能隙发生的过程本身就是一个相对独立的过程，所以一个面向能隙产生机制的建模，就可以对多个的相关现象做出合理的解释；本文所说明的，就是这样的一种建模。
[0249]
在我们已经给出的各种结果里，有一些是作为比较例给出的，具体包括图6和图7的内容，以及(24)和(35)式的结果。这些比较例，虽然它们本身并不正确，却是我们具体研究过的，我们用这些比较例来协助说明优选结果的特性。实际上，这些内容在这里提交的顺序，也是本文的结论的获得的进行顺序，我们是通过修正这些比较例，而获得后续的那些结果的，包括图8和式(25)-(33)、(39)和(40) 的结果。
[0250]
9.结论
[0251]
逻辑自洽
[0252]
绝对零度不是运动的终结，这是早已确认的结论，尤其是被零点能所确认。但在本模型里，绝对零度还是冷激发这种特殊运动的完成。随着温度的下降，热激发逐渐减弱，但冷激发却在发展，在能隙相变的时候取代热激发而成为了激发的主导成分，并且随着温度
的下降而愈加剧烈，并在绝对零度达到了它的完备。从电子的能量统计关系来看，子系激发是最初的过程，而经典的费米统计，则可以被视为是子系激发反复迭代而导致激发的初态与终态之间的对应关系消失之后所呈现的分布。从这点看，全部是子系形式的冷激发，似乎才应该是最初的激发，而热激发反倒象是从冷激发里成长出来的。从量的格局上看也是如此，绝对零度作为一个牢固的界限，与其说是终点，不如说是起点。毕竟在高温方向没有一个界限，而如果事物总有一个开端的话，开端就更应该是在绝对零度这样作为明确界限的地方。绝对零度不仅具有运动，它还是冷激发达到完备的所在，而热激发则更象是通过那个指数项的核从冷激发中发展出来的，并通过那个核发展自身，而从冷激发的内部逐步取代了后者。
[0253]
从格波模的调制电子态，到能带的regeneration形成能隙，运动经历了多个环节。与这过程的内容的丰富相比，本模型却似乎显得过于简单，几乎没有涉及具体的参数、具体的体系、或具体的结构。然而这也正是运动发展的格局。运动先在简单的关系上发展自己，在发展的初期建立起单纯但却是重要的关系，而多样化的内容则是后来的发展中分化出来的相对次要的东西。能隙及引起它的那些关系，既然是普遍性的东西，它们就应该是在相应的早期建立起来的内容，因而也就是相对单纯的内容。但运动也不仅是从起点到目的地的历程，起点也并不是绝对的起点；运动同样是从目的地回溯到起点的历程。运动也是从一个已经分化了的、包含了多样性内容的实际场景开始的，它溶解掉那些多样性的表象，显现出它自身是回溯到起点的历程，就如同我们也都是基于多样性的实例开始着手，设计实验，提取实验数据，以实验数据为参照建立模型，再把模型建立成回溯到起点的表征。而这个回溯的过程，也就是从起点到达多样性的目的地的历程，这个历程唯有通过返回才能完备，就如同冷激发唯有返回到它的起点才能达到它的完备。从起点到目的地的运动，就是起点和目的地向着彼此回归的历程。我们对运动的知的过程同样也是这起点和目的地向着彼此回归的历程。这历程的完备就是起点与终点的融合。
[0254]
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[13]黄昆，《固体物理学》201-205页，人民教育出版社出版，统一书号13012.0220，1966年六月出版，1979年1月第一次印刷。黄昆《固体物理学》4-8节，高等教育出版社1988.10.isbn978-7-04-001025-1)。
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[15]王竹溪，《统计物理学导论》，人民教育出版社出版，统一书号13012.0131，1965年8月第2版，1979年1月第11次印刷。

技术特征：
1.晶体的超导能隙的建模方法，其特征在于包括：把晶体的晶格电子系的相互作用矩阵的哈密顿量的微绕项表征为：其中，求和是对晶格中所有的格点，r
n
是晶体的格点的坐标，e是振动方向的单位矢量，q和ν分别是格波模的波矢和频率，把对角矩阵元被耗尽的态确定为纯非定态，能隙包括纯非定态的态，把能隙的自由能表征为：其中：θ代表k-e空间里沿着费米弧从节点向反节点的位移量，ζ(θ)代表沿着θ连续变化的结合能，其在节点处必为零，ω＝ω(θ)表示态密度，θ(θ)＝ζ(θ)-δ(θ)，δ(θ)是待定参数，把整个晶格连同其电子系的自由能表征为：g＝x-u＝g(θ,ω,t)，通过求g的极小值，进行寻优，从而确定δ(θ)、ω＝ω(θ)和ζ(θ)的值，其中x＝x(θ0,ω0,t)是使晶格具有δ(θ)、ω＝ω(θ)和ζ(θ)的能量代价函数，其中，能隙中能量在-(ζ(θ)+δ(θ))e<-(ζ(θ)-δ(θ))范围里的态被纯非定态的态所在的子系的配对激发所填充。2.根据权利要求1的建模方法，其特征在于：所述配对激发的统计被表征为：和其中：ω1是θ所在切面里-(ζ+δ)<e<-ζ范围中的全部态纯非定态的数目，λ
′1是ω1中的激发的态的数目，λ'1是λ
′1激发的电子留下的λ
′1个空穴中被湮灭的空穴数目，1/β＝kt，k是玻尔兹曼常数，t是绝对温度，α1由归一化条件确定：

技术总结
提供了晶体的超导能隙的建模方法，其特征在于包括：把晶体的晶格电子系的相互作用矩阵的哈密顿量的微绕项表征为时变的谐波微扰：把对角矩阵元被耗尽的态确定为纯非定态，能隙包括纯非定态的态；表征能隙的自由能，其包含连续变化的结合能ζ(θ)，态密度ω(θ)、能量阈值参数


技术研发人员：李强
受保护的技术使用者：田多贤
技术研发日：2022.03.10
技术公布日：2023/9/20